Strona główna » Matematyka » Pole i obwód rombu

Zadanie - pole i obwód rombu

Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$d_1=\sqrt{2}\\ d_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$P=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}$
$a^2=(\frac{1}{2}d_1)^2+(\frac{1}{2}d_2)^2\\ a^2=\frac{d_1^2+d_2^2}{4}\\ a=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{10}}{4}$
$L=4a=\sqrt{10}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Aby obliczyć pole rombu, możemy skorzystać ze wzoru:

$P=\frac{1}{2}d_1d_2$

Musimy znaleźć długości obu przekątnych rombu. Przekątna d₁ rombu ma długość przekątnej kwadratu. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego powstałego po przecięciu kwadratu na dwie części przez przekątną:

$d_1^2=1^2+1^2\\ d_1^2=2\\ d_1=\sqrt{2}$

Druga z przekątnych rombu stanowi połowę długości przekątnej kwadratu:

$d_2=\frac{1}{2}\cdot d_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Obliczamy pole, korzystając z przytoczonego wyżej wzoru:

$P=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2}=\frac{1}{2}$

W celu obliczenia obwodu rombu, który dany jest wzorem:

musimy znaleźć długość boku a. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zaznaczonego na rysunku.

Mamy więc:

$a^2=(\frac{1}{2}d_1)^2+(\frac{1}{2}d_2)^2\\ a^2=\frac{d_1^2+d_2^2}{4}\\ a=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}})^2}{2}\\ a=\frac{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}\\a=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ a=\frac{\sqrt{10}}{4}$