Logo Media Nauka

Zadanie - pole i obwód rombu

Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

d_1=\sqrt{2}\\ d_2=\frac{\sqrt{2}}{2}
P=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}
a^2=(\frac{1}{2}d_1)^2+(\frac{1}{2}d_2)^2\\ a^2=\frac{d_1^2+d_2^2}{4}\\ a=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{10}}{4}
L=4a=\sqrt{10}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

zadanie 655 - romb - rysunek 1

Aby obliczyć pole rombu, możemy skorzystać ze wzoru:

P=\frac{1}{2}d_1d_2

Musimy znaleźć długości obu przekątnych rombu. Przekątna d1 rombu ma długość przekątnej kwadratu. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego powstałego po przecięciu kwadratu na dwie części przez przekątną:

d_1^2=1^2+1^2\\ d_1^2=2\\ d_1=\sqrt{2}

Druga z przekątnych rombu stanowi połowę długości przekątnej kwadratu:

d_2=\frac{1}{2}\cdot d_1=\frac{\sqrt{2}}{2}

Obliczamy pole, korzystając z przytoczonego wyżej wzoru:

P=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2}=\frac{1}{2}

W celu obliczenia obwodu rombu, który dany jest wzorem:

L=4a

musimy znaleźć długość boku a. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zaznaczonego na rysunku.

zadanie 655 - romb - rysunek 2

Mamy więc:

a^2=(\frac{1}{2}d_1)^2+(\frac{1}{2}d_2)^2\\ a^2=\frac{d_1^2+d_2^2}{4}\\ a=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}})^2}{2}\\ a=\frac{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}\\a=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ a=\frac{\sqrt{10}}{4}

Obliczamy obwód:

L=4a=4\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}=\sqrt{10}

ksiązki Odpowiedź

P=\frac{1}{2}, \ L=\sqrt{10}

© medianauka.pl, 2011-03-03, ZAD-1187



Zadania podobne

kulkaZadanie - pole powierzchni rombu
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole powierzchni rombu
Dany jest romb o boku a=\sqrt{2}. Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole i obwód rombu
Wysokość rombu o polu 3 ma wartość \frac{3}{2}. Oblicz obwód tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 17, matura 2015 (poziom podstawowy)
Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy :

A. 14°<α< 15°
B. 29°<α< 30°
C. 60°<α< 61°
D. 75°<α< 76°


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 28, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL| 1/3|BE|i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3.
Zadanie maturalne 28 2015


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.