Nauka » Matematyka » Pole rombu

Zadanie - pole i obwód rombu

Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$d_1=\sqrt{2}\\ d_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$P=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}$
$a^2=(\frac{1}{2}d_1)^2+(\frac{1}{2}d_2)^2\\ a^2=\frac{d_1^2+d_2^2}{4}\\ a=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{10}}{4}$
$L=4a=\sqrt{10}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Aby obliczyć pole rombu, możemy skorzystać ze wzoru:

$P=\frac{1}{2}d_1d_2$

Musimy znaleźć długości obu przekątnych rombu. Przekątna d₁ rombu ma długość przekątnej kwadratu. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego powstałego po przecięciu kwadratu na dwie części przez przekątną:

$d_1^2=1^2+1^2\\ d_1^2=2\\ d_1=\sqrt{2}$

Druga z przekątnych rombu stanowi połowę długości przekątnej kwadratu:

$d_2=\frac{1}{2}\cdot d_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Obliczamy pole, korzystając z przytoczonego wyżej wzoru:

$P=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2}=\frac{1}{2}$

W celu obliczenia obwodu rombu, który dany jest wzorem:

musimy znaleźć długość boku a. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta zaznaczonego na rysunku.

Mamy więc:

$a^2=(\frac{1}{2}d_1)^2+(\frac{1}{2}d_2)^2\\ a^2=\frac{d_1^2+d_2^2}{4}\\ a=\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}})^2}{2}\\ a=\frac{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{2}\\a=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ a=\frac{\sqrt{10}}{4}$

Obliczamy obwód:

$L=4a=4\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}=\sqrt{10}$

Odpowiedź

$P=\frac{1}{2}, \ L=\sqrt{10}$

Zadania podobne

Zadanie - pole powierzchni rombu
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni rombu
Dany jest romb o boku $a=\sqrt{2}$ . Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole i obwód rombu
Wysokość rombu o polu 3 ma wartość $\frac{3}{2}$ . Oblicz obwód tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 17, matura 2015 (poziom podstawowy)
Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy :

A. 14°<α< 15°
B. 29°<α< 30°
C. 60°<α< 61°
D. 75°<α< 76°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 28, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL| 1/3|BE|i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3.
Zadanie maturalne 28 2015

Pokaż rozwiązanie zadania