Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie maturalne nr 28, matura 2015 (poziom podstawowy)


Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL| 1/3|BE|i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3.
Zadanie maturalne 28 2015

ksiązki Rozwiązanie zadania

Oznaczmy długość boku kwadratu przez a (|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a) oraz przez d długość przekątnej kwadratu (d=|AC|=|DB|). Obliczmy pole kwadratu i długość przekątnej:

P_k=a^2\\d=a\sqrt{2}

Korzystając z warunków zadania otrzymujemy:

|EK|=\frac{1}{2}|AE|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{4}d=\frac{a\sqrt{2}}{4}\\|BL|=\frac{1}{3}|BE|\\|EL|=\frac{2}{3}|BE|=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{3}d=\frac{a\sqrt{2}}{3}

Do obliczenia pola czworokąta KLMN (romb) wykorzystamy wzór:

P=\frac{1}{2}d_1d_2

Obliczamy długości przekątnych::

d_1=|KM|=2|EK|=\frac{1}{2}d=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\ d_2=2|EL|=\frac{2\sqrt{2}}{3}a

Obliczymy teraz pole rombu:

P_r=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}a=\frac{1}{3}a^2

Obliczymy teraz stosunek obu pól:

\frac{P_r}{P_k}=\frac{\frac{1}{3}a^2}{a^2}=\frac{1}{3}

ksiązki Odpowiedź

Stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3

© medianauka.pl, 2016-12-14, ZAD-3326

Zadania podobne

kulkaZadanie - pole i obwód rombu
Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole powierzchni rombu
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole powierzchni rombu
Dany jest romb o boku a=\sqrt{2}. Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pole i obwód rombu
Wysokość rombu o polu 3 ma wartość \frac{3}{2}. Oblicz obwód tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 17, matura 2015 (poziom podstawowy)
Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy :

A. 14°<α< 15°
B. 29°<α< 30°
C. 60°<α< 61°
D. 75°<α< 76°


Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

BrainBox - Matematyka
Kolorowe skarpetki 3D
kolorowe skarpetki matematyka
Krótka historia wielkich umysłów
Dziwna Matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.