Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 28, matura 2015 (poziom podstawowy)


Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL| 1/3|BE|i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3.
Zadanie maturalne 28 2015


ksiązki Rozwiązanie zadania

Oznaczmy długość boku kwadratu przez a (|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a) oraz przez d długość przekątnej kwadratu (d=|AC|=|DB|). Obliczmy pole kwadratu i długość przekątnej:

P_k=a^2\\d=a\sqrt{2}

Korzystając z warunków zadania otrzymujemy:

|EK|=\frac{1}{2}|AE|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{4}d=\frac{a\sqrt{2}}{4}\\|BL|=\frac{1}{3}|BE|\\|EL|=\frac{2}{3}|BE|=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{3}d=\frac{a\sqrt{2}}{3}

Do obliczenia pola czworokąta KLMN (romb) wykorzystamy wzór:

P=\frac{1}{2}d_1d_2

Obliczamy długości przekątnych::

d_1=|KM|=2|EK|=\frac{1}{2}d=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\ d_2=2|EL|=\frac{2\sqrt{2}}{3}a

Obliczymy teraz pole rombu:

P_r=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}a=\frac{1}{3}a^2

Obliczymy teraz stosunek obu pól:

\frac{P_r}{P_k}=\frac{\frac{1}{3}a^2}{a^2}=\frac{1}{3}

ksiązki Odpowiedź

Stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3

© medianauka.pl, 2016-12-14, ZAD-3326





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.