Nauka » Matematyka » Pole rombu

Zadanie maturalne nr 28, matura 2015 (poziom podstawowy)

Treść zadania:

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków – odpowiednio – \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy 1:3.

Zadanie maturalne 28 2015

Rozwiązanie zadania

Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(a\) (\(|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a\)) oraz przez \(d\) długość przekątnej kwadratu (\(d=|AC|=|DB|\)). Obliczmy pole kwadratu i długość przekątnej:

\(P_k=a^2\\d=a\sqrt{2}\)

Korzystając z warunków zadania, otrzymujemy:

\(|EK|=\frac{1}{2}|AE|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{4}d=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\)

\(|EL|=\frac{2}{3}|BE|=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{3}d=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)

Do obliczenia pola czworokąta \(KLMN\) (romb) wykorzystamy wzór:

\(P=\frac{1}{2}d_1d_2\)

Obliczamy długości przekątnych:

\(d_1=|KM|=2|EK|=\frac{1}{2}d=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(d_2=2|EL|=\frac{2\sqrt{2}}{3}a\)

Obliczymy teraz pole rombu:

\(P_r=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}a=\frac{1}{3}a^2\)

Obliczymy teraz stosunek obu pól:

\(\frac{P_r}{P_k}=\frac{\frac{1}{3}a^2}{a^2} =\frac{1}{3}\)

Odpowiedź

Stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole rombu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dany jest romb o boku \(a=\sqrt{2}\). Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wysokość rombu o polu 3 ma wartość \(\frac{3}{2}\). Oblicz obwód tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha\). Wtedy:

A. \(14°<\alpha< 15°\)

B. \(29°<\alpha< 30°\)

C. \(60°<\alpha< 61°\)

D. \(75°<\alpha< 76°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe

A. 8

B. 12

C. \(8\sqrt{3}\)

D. 16

Pokaż rozwiązanie zadania.