Nauka » Matematyka » Pole rombu

Zadanie maturalne nr 28, matura 2015 (poziom podstawowy)

Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL| 1/3|BE|i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3.
Zadanie maturalne 28 2015

Rozwiązanie zadania

Oznaczmy długość boku kwadratu przez a (|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a) oraz przez d długość przekątnej kwadratu (d=|AC|=|DB|). Obliczmy pole kwadratu i długość przekątnej:

$P_k=a^2\\d=a\sqrt{2}$

Korzystając z warunków zadania otrzymujemy:

$|EK|=\frac{1}{2}|AE|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{4}d=\frac{a\sqrt{2}}{4}\\|BL|=\frac{1}{3}|BE|\\|EL|=\frac{2}{3}|BE|=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}d=\frac{1}{3}d=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Do obliczenia pola czworokąta KLMN (romb) wykorzystamy wzór:

$P=\frac{1}{2}d_1d_2$

Obliczamy długości przekątnych::

$d_1=|KM|=2|EK|=\frac{1}{2}d=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\ d_2=2|EL|=\frac{2\sqrt{2}}{3}a$

Obliczymy teraz pole rombu:

$P_r=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}a=\frac{1}{3}a^2$

Obliczymy teraz stosunek obu pól:

$\frac{P_r}{P_k}=\frac{\frac{1}{3}a^2}{a^2}=\frac{1}{3}$

Odpowiedź

Stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3

Zadania podobne

Zadanie - pole i obwód rombu
Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni rombu
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni rombu
Dany jest romb o boku $a=\sqrt{2}$ . Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole i obwód rombu
Wysokość rombu o polu 3 ma wartość $\frac{3}{2}$ . Oblicz obwód tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 17, matura 2015 (poziom podstawowy)
Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy :

A. 14°<α< 15°
B. 29°<α< 30°
C. 60°<α< 61°
D. 75°<α< 76°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2019

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe

A. 8

B. 12

C. 8√3

D. 16

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.