Pole trapezu

Jak obliczyć pole trapezu? Jaki jest wzór na pole trapezu?

Pole trapezu wyraża się wzorem:

\(P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h\)

Wielkości \(a, b\) są długościami podstaw trapezu, zaś \(h\) jego wysokością.

Pole trapezu

Przykład

Obliczyć pole trapezu o podstawach długości \(10\) i \(5\) oraz wysokości \(h=2\).

Rozwiązanie: Dane są podstawy \(a=5, b=10\) oraz wysokość \(h=2\). Stosujemy więc bezpośrednio wzór na pole trapezu:

\(P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h=\frac{1}{2}(5+10)\cdot 2=15\)

Inne wzory na pole trapezu

Gdy dane są przekątne trapezu \(d_1\) i \(d_2\) oraz kąt \(\phi\), jaki tworzą te przekątne ze sobą, to pole trapezu z przekątnych obliczymy ze wzoru:

\(P=\frac{1}{2}d_1d_2\sin{\phi}\)

Gdy dane są długości podstaw trapezu \(a\) i \(b\), długość ramienia \(c\) oraz kąt \(\beta\), jaki tworzy to ramię z podstawą, to pole trapezu obliczymy ze wzoru:

\(P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot c\sin{\beta}\)

Obwód trapezu

Obwód trapezu wyraża się wzorem:

\(L=a+b+c+d\)

Wzór na obwód trapezu zawiera wielkości \(a, b, c, d\), które są długościami boków trapezu.

Pytania

Jak obliczyć pole trapezu, gdy nie ma podanej wysokości?

W przypadku, gdy dane są długości wszystkich boków, a trapez jest równoramienny, to wysokość trapezu można wyznaczyć na podstawie twierdzenia Pitagorasa. Ramię, szukana wysokość i część odcinka podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Ten krótki odcinek podstawy obliczamy, odejmując od długości dłuższej podstawy długość krótszej podstawy i dzielimy przez 2.

W innych przypadkach na ogół korzystamy z funkcji trygonometrycznych lub ze wzorów wymienionych wyżej.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB|=6, |BC|=4, |AC|=5\). Punkt \(M\) jest środkiem boku \(AC\), punkt \(N\) — środkiem boku \(BC\). Obliczyć obwód trapezu \(ABNM\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego wysokość ma długość 2, krótsza podstawa 4, a ramię ma długość 3.

Pokaż rozwiązanie zadania.