Pole kwadratu

Jak obliczyć pole powierzchni kwadratu?

Twierdzenie

Pole kwadratu wyraża się wzorem:

gdzie a jest długością boku kwadratu.

Przykład

Obliczyć pole kwadratu o boku długości 10.

Rozwiązanie: Dana jest długość boku kwadratu a=10. Stosujemy więc bezpośrednio wzór na pole kwadratu:

Pole a przekątna kwadratu

W przypadku kwadratu jego pole można wyrazić poprzez jego przekątną.

Twierdzenie

Pole kwadratu wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}d^2$

gdzie d jest długością przekątnej kwadratu.

Dowód

Przekątna w kwadracie jest wyrażona wzorem $d=a\sqrt{2}$ . Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa. Ponieważ mamy do czynienia z długościami, czyli liczbami dodatnimi, można zapisać, że $d^2=(a\sqrt{2})^2=2a^2$ . Stąd $a^2=P=\frac{1}{2}d^2$

Obwód kwadratu

Ponieważ w kwadracie wszystkie boki są równe, obwód jest równy ich łącznej długości, stąd L=4a

Twierdzenie

Obwód kwadratu wyraża się wzorem:

gdzie a jest długością boku kwadratu.

Przykład

Jakie jest pole kwadratu o obwodzie 12 cm?

Obwód tego kwadratu wynosi L= 4a =12 cm, stąd:

4a=12 cm/:4
a=3 cm

Pole kwadratu obliczamy następująco:

P=a²=(3 cm)²=9 cm²

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Na kole o promieniu r=5 opisano kwadrat. Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole kwadratu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(3,0), B=(4,2), C=(2,3), D=(1,1).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Na obszarze w kształcie kwadratu o powierzchni 1 ha organizowany jest koncert. Przyjmuje się, że na dany obszar można wpuścić tyle ludzi, że na każdego przypada 1 m² wolnej powierzchni. Jaki przychód z koncertu będą mieli organizatorzy, jeśli zostaną sprzedane wszystkie bilety, których cena wynosi 30 zł?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Środki kwadratu o boku a=10 połączono tak, że powstał w środku mniejszy kwadrat. Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Przekątna kwadratu pokrywa się z ramieniem trójkąta równoramiennego o polu równym 16. Oblicz pole kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest kwadrat ABCD, w którym A = (5, -5/3). Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y = 4/3x . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Punkt A = (3, −5) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt M = (1, 3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu ABCD jest równe

A. 68

B. 136

C. 2√34

D. 8√34

Pokaż rozwiązanie zadania.