Zadanie maturalne nr 25, matura 2021
Punkt A = (3, −5) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt M = (1, 3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu ABCD jest równe
A. 68
B. 136
C. 2√34
D. 8√34
Rozwiązanie zadania
Sporządźmy rysunek poglądowy.
Punkt M jest środkiem odcinka AB.
Korzystając ze wzory na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka:
Jeżeli końce odcinka AB mają współrzędne: \(A=(x_A,y_A), \ B=(x_B, y_B)\), to współrzędne środka odcinka i obliczamy ją ze wzoru:
\(x_s=\frac{x_A+x_B}{2},\quad{}y_s=\frac{y_A+y_B}{2} \)
Mamy więc:
\(1=\frac{x+3}{2}/\cdot 2\)
\(2=x+3\)
\(x=-1\)
\(3=\frac{-5+y}{2}/\cdot 2\)
\(6=-5+y\)
\(y=11\)
Długość odcinka AB oznaczmy przez d:
\(d=\sqrt{(-1-3)^2+(11+5)^2}=\sqrt{16+256}=\sqrt{272}\)
Odcinek AB jest przekątną kwadratu ABCD, którego bok oznaczmy przez a. Przekątna kwadratu o boku a ma długość \(a\sqrt{2}\).
\(a\sqrt{2}=\sqrt{272}\)
\(a=\frac{\sqrt{272}}{\sqrt{2}}\)
Pole kwadratu ABCD jest równe:
\(P=a^2=(\frac{\sqrt{272}}{\sqrt{2}})^2=\frac{272}{2}=136\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-26, ZAD-4814
Zadania podobne

Na kole o promieniu r=5 opisano kwadrat. Oblicz jego pole.
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz pole kwadratu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(3,0), B=(4,2), C=(2,3), D=(1,1).
Pokaż rozwiązanie zadania

Na obszarze w kształcie kwadratu o powierzchni 1 ha organizowany jest koncert. Przyjmuje się, że na dany obszar można wpuścić tyle ludzi, że na każdego przypada 1 m2 wolnej powierzchni. Jaki przychód z koncertu będą mieli organizatorzy, jeśli zostaną sprzedane wszystkie bilety, których cena wynosi 30 zł?
Pokaż rozwiązanie zadania

Środki kwadratu o boku a=10 połączono tak, że powstał w środku mniejszy kwadrat. Oblicz jego pole.
Pokaż rozwiązanie zadania

Przekątna kwadratu pokrywa się z ramieniem trójkąta równoramiennego o polu równym 16. Oblicz pole kwadratu.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest kwadrat ABCD, w którym A = (5, -5/3). Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y = 4/3x . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.
Pokaż rozwiązanie zadania