Zadanie maturalne nr 32, matura 2020
Treść zadania:
Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(5, -\frac{5}{3})\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y =\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).
Rozwiązanie zadania
Sporządźmy rysunek poglądowy:
Przekątna przechodząca przez punkty A i C jest prostopadła do przekątnej zawartej w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Dwie proste prostopadłe mają przeciwne i odwrotne współczynniki kierunkowe prostej, stąd równanie prostej AC ma postać:
\(y=-\frac{3}{4}x+b\)
Do prostej tej należy punkt A, którego współrzędne są znane i spełniają równanie szukanej prostej:
\(\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}\cdot 5 + b\)
\(\frac{20}{12}=-\frac{45}{12} + b\)
\(b=\frac{25}{12}\)
Szukamy współrzędnych punktu O. Wystarczy rozwiązać układ równań:
\(\begin{cases}y=\frac{4}{3}x/\cdot (-12) \\ y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}/\cdot 12 \end{cases}\)
\(\begin{cases}-12y=-16x \\ 12y=-9x+25\end{cases}\)
Dodajemy stronami równania:
\(0=-25x+25\)
\(x=1\)
\( y=\frac{4}{3}\)
\(O=(1,\frac{4}{3})\)
Obliczymy teraz pole kwadratu. Mamy dane dwa punkty, które należą do przekątnej kwadratu. Obliczamy długość odcinka |AO|:
\(|AO|=\sqrt{(1-5)^2+(\frac{4}{3}+\frac{5}{3})^2}=\sqrt{16+9}=5\)
Ponieważ przekątna kwadratu o boku a ma długość \(a\sqrt{2}\), to
\(|AC|=a\sqrt{2}=2|AO|\)
\(a\sqrt{2}=2\cdot 5\)
\(a=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\)
\(P=a^2=(5\sqrt{2})^2=50\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-06, ZAD-4765
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na kole o promieniu \(r=5\) opisano kwadrat. Oblicz jego pole.
Zadanie nr 2.
Oblicz pole kwadratu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(3,0), B=(4,2), C=(2,3), D=(1,1)\).
Zadanie nr 3.
Na obszarze w kształcie kwadratu o powierzchni 1 ha organizowany jest koncert. Przyjmuje się, że na dany obszar można wpuścić tyle ludzi, że na każdego przypada 1 m2 wolnej powierzchni. Jaki przychód z koncertu będą mieli organizatorzy, jeśli zostaną sprzedane wszystkie bilety, których cena wynosi 30 zł?
Zadanie nr 4.
Środki kwadratu o boku \(a=10\) połączono tak, że powstał w środku mniejszy kwadrat. Oblicz jego pole.
Zadanie nr 5.
Przekątna kwadratu pokrywa się z ramieniem trójkąta równoramiennego o polu równym 16. Oblicz pole kwadratu.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Punkt \(A=(3,−5)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(M=(1,3)\) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu \(ABCD\) jest równe
A. \(68\)
B. \(136\)
C. \(2\sqrt{34}\)
D. \(8\sqrt{34}\)