Kwadrat

Co to jest kwadrat?

Definicja

Kwadrat jest to równoległobok, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe.

Własności kwadratu

Twierdzenie

W kwadracie przekątne są równe i prostopadłe.

Twierdzenie

Symetralne boków oraz proste zawierające przekątne są osiami symetrii kwadratu.

Przekątna kwadratu

Jak obliczyć przekątną kwadratu?

Przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, których przyprostokątne mają długość boku kwadratu a. Długość przeciwprostokątnej, a jednocześnie przekątnej kwadratu, obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$d^2=a^2+a^2\\d^2=2a^2\\d=\sqrt{2a^2}\\d=a\sqrt{2}$

Zatem przekątna kwadratu wyraża się wzorem:

$d=a\sqrt{2}$

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat

okrąg wpisany w kwadrat i okrąg opisany na kwadracie

Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości boku kwadratu. Mamy więc:

$r=\frac{a}{2}$

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie

Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości przekątnej kwadratu. Mamy więc:

$R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Pole i obwód kwadratu

W kolejnym artykule omawiamy jak obliczyć pole powierzchni oraz obwód kwadratu. Tam też znajdziesz wzory na pole kwadratu i jego obwód wraz z wykorzystaniem ich w przykładowych zadaniach.

Pytania

Czy kwadrat jest prostokątem?

Tak kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem.

Czy kwadrat jest trapezem?

Trapez jest to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Kwadrat zatem spełnia ten warunek i jest trapezem. Nie każdy trapez jest kwadratem.

Czy kwadrat jest równoległobokiem?

Równoległobok to czworokąt, która ma dwie pary boków równoległych. Każdy kwadrat jest równoległobokiem. Nie każdy równoległobok jest kwadratem.

Czy kwadrat jest rombem?

Romb jest to równoległobok, który ma wszystkie boki równe, zatem kwadrat jest rombem. Nie każdy romb jest jednak kwadratem.

Ile osi symetrii ma kwadrat?

Prostokąt ma 4 osie symetrii. Dwie osie przechodzą przez środki boków. Dwie kolejne zawierają przekątne kwadratu.

Czy dowolne dwa kwadraty są figurami podobnymi?

Tak. Dowolne dwa kwadraty są podobne.

Co to jest kwadrat magiczny?

Kwadrat magiczny to nie jest figura geometryczna. Jest to tablica składająca się z określonej liczby wierszy i kolumn (minimum 3), w którą wpisano nie powtarzające się dodatnie liczb naturalne w taki sposób, że suma liczb w każdym wierszu i kolumnie, a także po każdej przekątnej jest taka sama. co ciekawe, jest nieskończenie wiele kwadratów magicznych.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Kwadrat

Zadanie - konstrukcja kwadratu
Skonstruuj kwadrat, którego przekątna ma długość danego odcinka $\overline{AB}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole kwadratu, obliczanie długości boku
Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kwadrat, przekątna kwadratu
W jakiej odległości znajdują się od siebie każde odpowiadające sobie wierzchołki dwóch kwadratów o wspólnym środku, jeżeli jeden z kwadratów ma pole dwa razy mniejsze od drugiego i bok większego kwadratu ma długość równą 20?

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Prostokąt
Prostokąt jest to równoległobok, który ma wszystkie kąty proste.

Pole i obwód prostokąta
Pole prostokąta wyraża się wzorem: P=ab. Obwód prostokąta wyraża się wzorem: L=2a+2b.

Pole kwadratu
Pole kwadratu wyraża się wzorem: P=a^2, gdzie a jest długością boku kwadratu. Obwód kwadratu L=4a.

Prostokąt
Prostokąt jest to równoległobok, który ma wszystkie kąty proste.

Pole i obwód prostokąta
Pole prostokąta wyraża się wzorem: P=ab. Obwód prostokąta wyraża się wzorem: L=2a+2b.

Trapez
Trapez jest to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

Pole i obwód trapezu
Pole trapezu wyraża się wzorem: P=1/2(a+b)h, gdzie a, b są długościami podstaw trapezu, a h jego wysokością.

Równoległobok
Równoległobok jest to czworokąt, która ma dwie pary boków równoległych.

Pole równoległoboku
Pole równoległoboku wyraża się wzorem: P=ah1=bh2, gdzie a,b to długości boków, a h1,h2 to wysokości.

Romb
Romb jest to równoległobok, który ma wszystkie boki równe. W rombie przekątne są prostopadłe do siebie.

Pole rombu
Wzory na pole i obwód rombu wynikają bezpośrednio ze wzorów na pole i obwód równoległoboku.

Deltoid
Deltoid jest to czworokąt, którego dwa kolejne boki są równe i dwa kolejne boki są równe między sobą, ale różne od poprzednich.

Pole deltoidu
Pole deltoidu wyraża się wzorem: P=1/2d1d2, gdzie d1, d2 są długościami przekątnych.

Test wiedzy

Dlaczego garnki są okrągłe?

Co sprawia, że widujemy w sprzedaży garnki o podstawie koła, a nie na przykład kwadratu? Może to zwykłe przyzwyczajenie i wygoda? Okazuje się, że powodów jest kilka.