Kwadrat

Co to jest kwadrat? Oto definicja kwadratu:

Kwadrat jest to równoległobok, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe.

kwadrat

Własności kwadratu

Właściwości kwadratu określają pewne twierdzenia:

W kwadracie przekątne są równe i prostopadłe.
Symetralne boków oraz proste zawierające przekątne są osiami symetrii kwadratu.

Przekątna kwadratu

Jak obliczyć przekątną kwadratu?

przekątna w kwadracie

Przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, których przyprostokątne mają długość boku kwadratu \(a\). Długość przeciwprostokątnej, a jednocześnie przekątnej kwadratu, obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

\(d^2=a^2+a^2\)

\(d^2=2a^2\)

\(d=\sqrt{2a^2}\)

\(d=a\sqrt{2}\)

Zatem wzór na przekątną kwadratu jest następujący:

\(d=a\sqrt{2}\)

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat.

okrąg wpisany w kwadrat i okrąg opisany na kwadracie

Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości boku kwadratu. Mamy więc:

\(r=\frac{a}{2}\)

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie.

Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości przekątnej kwadratu. Mamy więc:

\(R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Pole i obwód kwadratu

W kolejnym artykule omawiamy jak obliczyć pole powierzchni oraz obwód kwadratu. Tam też znajdziesz wzory na pole kwadratu i jego obwód wraz z wykorzystaniem ich w przykładowych zadaniach.

Pytania

Czy kwadrat jest prostokątem?

Tak kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem.

Czy kwadrat jest trapezem?

Trapez jest to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Kwadrat zatem spełnia ten warunek i jest trapezem. Nie każdy trapez jest kwadratem.

Czy kwadrat jest równoległobokiem?

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Każdy kwadrat jest równoległobokiem. Nie każdy równoległobok jest kwadratem.

Czy kwadrat jest rombem?

Romb jest to równoległobok, który ma wszystkie boki równe, zatem kwadrat jest rombem. Nie każdy romb jest jednak kwadratem.

Ile osi symetrii ma kwadrat?

Prostokąt ma 4 osie symetrii. Dwie osie przechodzą przez środki boków. Dwie kolejne zawierają przekątne kwadratu.

Czy dowolne dwa kwadraty są figurami podobnymi?

Tak. Dowolne dwa kwadraty są podobne.

Co to jest kwadrat magiczny?

Kwadrat magiczny to nie jest figura geometryczna. Jest to tablica składająca się z określonej liczby wierszy i kolumn (minimum 3), w którą wpisano niepowtarzające się dodatnie liczby naturalne w taki sposób, że suma liczb w każdym wierszu i kolumnie, a także po każdej przekątnej jest taka sama. Co ciekawe, jest nieskończenie wiele kwadratów magicznych.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W jakiej odległości znajdują się od siebie każde odpowiadające sobie wierzchołki dwóch kwadratów o wspólnym środku, jeżeli jeden z kwadratów ma pole dwa razy mniejsze od drugiego i bok większego kwadratu ma długość równą 20?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Punkty \(A=(−4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątna tego kwadratu ma długość

A. \(4\sqrt{10}\)

B. \(4\sqrt{2}\)

C. \(4\sqrt{5}\)

D. \(4\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.