Nauka » Matematyka » Kwadrat

Zadanie - kwadrat, przekątna kwadratu

W jakiej odległości znajdują się od siebie każde odpowiadające sobie wierzchołki dwóch kwadratów o wspólnym środku, jeżeli jeden z kwadratów ma pole dwa razy mniejsze od drugiego i bok większego kwadratu ma długość równą 20?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x=\frac{d_1-d_2}{2}\\ d_1=20\sqrt{2}$
$P_2=b^2=\frac{P_1}{2}=200\\ b=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$
$d_2=b\sqrt{2}=20$
$x=\frac{20\sqrt{2}-20}{2}=10(\sqrt{2}-1)=10\sqrt{2}-10$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Szukamy odległości x. Zauważamy, że x jest różnicą połowy przekątnej dużego kwadratu (oznaczmy przekątną dużego kwadratu przez d₁) i połowy przekątnej małego kwadratu (oznaczmy przekątną mniejszego kwadratu przez d₂):

$x=\frac{d_1}{2}-\frac{d2}{2}=\frac{d_1-d_2}{2}$

Przekątna kwadratu wyrażona jest wzorem:

$d=a\sqrt{2}$

gdzie a jest długością boku kwadratu. (Wzór ten można wyprowadzić z twierdzenia Pitagorasa.) Mamy więc dla dużego kwadratu:

$d_1=20\sqrt{2}$

Wiemy też, że pole małego kwadratu jest dwa razy mniejsze niż dużego. Pole kwadratu o boku a wyraża się wzorem:

Pole dużego kwadratu oznaczamy przez P₁, małego przez P₂. Mamy więc

$P_2=b^2=\frac{P_1}{2}\\ b^2=\frac{20^2}{2}=\frac{400}{2}=200\\ b=\sqrt{200}=\sqrt{2\cdot 100}=10\sqrt{2}$

Mając daną długość boku mniejszego kwadratu możemy znaleźć łatwo długość przekątnej:

$d_2=b\sqrt{2}=10\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=20$

Mamy wszystkie dane, aby obliczyć szukaną wartość:

$x=\frac{d_1-d_2}{2}=\frac{20\sqrt{2}-20}{2}=\frac{20(\sqrt{2}-1)}{2}=10(\sqrt{2}-1)=10\sqrt{2}-10$

Odpowiedź

$x=10\sqrt{2}-10$

Zadania podobne

Zadanie - konstrukcja kwadratu
Skonstruuj kwadrat, którego przekątna ma długość danego odcinka $\overline{AB}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole kwadratu, obliczanie długości boku
Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.