Nauka » Matematyka » Kwadrat

Zadanie - kwadrat, przekątna kwadratu

W jakiej odległości znajdują się od siebie każde odpowiadające sobie wierzchołki dwóch kwadratów o wspólnym środku, jeżeli jeden z kwadratów ma pole dwa razy mniejsze od drugiego i bok większego kwadratu ma długość równą 20?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x=\frac{d_1-d_2}{2}\\ d_1=20\sqrt{2}$
$P_2=b^2=\frac{P_1}{2}=200\\ b=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$
$d_2=b\sqrt{2}=20$
$x=\frac{20\sqrt{2}-20}{2}=10(\sqrt{2}-1)=10\sqrt{2}-10$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Szukamy odległości x. Zauważamy, że x jest różnicą połowy przekątnej dużego kwadratu (oznaczmy przekątną dużego kwadratu przez d₁) i połowy przekątnej małego kwadratu (oznaczmy przekątną mniejszego kwadratu przez d₂):

$x=\frac{d_1}{2}-\frac{d2}{2}=\frac{d_1-d_2}{2}$

Przekątna kwadratu wyrażona jest wzorem:

$d=a\sqrt{2}$

gdzie a jest długością boku kwadratu. (Wzór ten można wyprowadzić z twierdzenia Pitagorasa.) Mamy więc dla dużego kwadratu:

$d_1=20\sqrt{2}$

Wiemy też, że pole małego kwadratu jest dwa razy mniejsze niż dużego. Pole kwadratu o boku a wyraża się wzorem:

Pole dużego kwadratu oznaczamy przez P₁, małego przez P₂. Mamy więc

$P_2=b^2=\frac{P_1}{2}\\ b^2=\frac{20^2}{2}=\frac{400}{2}=200\\ b=\sqrt{200}=\sqrt{2\cdot 100}=10\sqrt{2}$

Mając daną długość boku mniejszego kwadratu możemy znaleźć łatwo długość przekątnej:

$d_2=b\sqrt{2}=10\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=20$

Mamy wszystkie dane, aby obliczyć szukaną wartość:

$x=\frac{d_1-d_2}{2}=\frac{20\sqrt{2}-20}{2}=\frac{20(\sqrt{2}-1)}{2}=10(\sqrt{2}-1)=10\sqrt{2}-10$

Odpowiedź

$x=10\sqrt{2}-10$

Zadania podobne

Zadanie - konstrukcja kwadratu
Skonstruuj kwadrat, którego przekątna ma długość danego odcinka $\overline{AB}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole kwadratu, obliczanie długości boku
Przekątna kwadratu ma długość 1. Oblicz długość jego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania