Funkcja
Definicja
Funkcję zapisujemy w następujący sposób:
lub prościej:
Argument i wartość funkcji
Element x nazywamy argumentem funkcji lub zmienną niezależną.
Element y nazywamy wartością funkcji lub zmienną zależną.
Przykład
Jeżeli zdefiniujemy funkcję, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje liczbę do niej przeciwną, to argumentami funkcji będą liczby naturalne, a wartościami funkcji liczby całkowite ujemne.
Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji i często oznaczamy przez .
Używamy także pojęcia przeciwdziedziny (zbioru wartości funkcji). Jest to zbiór takich , dla których istnieje
takie, że
. Przeciwdziedzinę oznaczamy przez
.
W praktyce warunek y∈Y pomijamy, natomiast pomijając warunek x∈X przyjmujemy, że dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb, dla których spełniona jest prawa strona równości .
Jeżeli mamy do czynienia z przypadkiem, w którym każdy element zbioru Y jest przyporządkowany co najmniej jednemu elementowi ze zbioru X, to mówimy, że zbiór X jest odwzorowany na zbiór Y. W takim przypadku zbiór Y jest przeciwdziedziną funkcji.
Przykłady
Przykład 1
Rysunek ilustruje przykład funkcji f, która każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y. Dziedzina jest tutaj trójelementowa, przeciwdziedzina również ma trzy elementy. Przykład ten ilustruje odwzorowanie zbioru X na zbiór Y. W takim odwzorowaniu przeciwdziedziną jest cały zbiór Y.
Określaniem dziedziny i przeciwdziedziny funkcji zajmiemy się w kolejnych artykułach (linki na dole).
Przykład 2
Tutaj również mamy do czynienia z funkcją mimo, że w zbiorze Y znajduje się element nie przyporządkowany żadnemu elementowi ze zbioru X. Mamy więc do czynienia z odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y (nie jest to odwzorowanie "na") i w tym przypadku zbiór Y nie jest przeciwdziedziną funkcji. Przeciwdziedzina, zaznaczona w zbiorze Y innym kolorem, jest jego podzbiorem. Warto zauważyć, że dwa elementy ze zbioru X są przypisane do tego samego elementu ze zbioru Y.
Przykład 3
Przyporządkowanie, które zostało zilustrowane na powyższym rysunku nie jest funkcją, gdyż nie każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowano element ze zbioru Y (w zbiorze X pozostał 1 element, który nie jest przyporządkowany).
Przykład 4
Przyporządkowanie, które zostało zilustrowane na powyższym rysunku nie jest funkcją, gdyż jednemu elementowi ze zbioru X (zaznaczono go na czerwono) przyporządkowano aż dwa elementy ze zbioru Y, a w myśl definicji funkcji, ma być przyporządkowany dokładnie jeden element.
Przykłady określania funkcji
A oto inne przykłady funkcji:
Każdemu z 25 uczniów klasy Ib przyporządkowano numer w dzienniku.
Jest to przykład funkcji. Dziedziną jest tutaj 25-elementowy zbiór uczniów, przeciwdziedziną zbiór liczb naturalnych w zakresu od 1 do 25. Jest to ponadto odwzorowanie zbioru X na zbiór Y.
Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy liczbę o jeden większą.
Jest to przykład funkcji liczbowej. Możemy ją zapisać w postaci: y=x+1. Dziedziną i przeciwdziedziną jest tutaj zbiór liczb rzeczywistych R.
Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej kwadrat.
Jest to przykład funkcji liczbowej. Możemy ją zapisać w postaci: f(x)=x2. Dziedziną i przeciwdziedziną jest tutaj zbiór liczb rzeczywistych R.
Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy liczbę 1.
Jest to przykład funkcji liczbowej. Możemy ją zapisać w postaci: f(x)=1. Dziedziną jest tutaj zbiór liczb rzeczywistych R, natomiast przeciwdziedziną zbiór {1}.
Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej odwrotność.
Jest to przykład funkcji liczbowej. Możemy ją zapisać w postaci: . Dziedziną i przeciwdziedziną jest tutaj zbiór R\{0}.
Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy jego pole powierzchni.
Jest to przykład funkcji. Dziedziną jest zbiór wszystkich trójkątów. Przeciwdziedziną jest tutaj zbiór R+.
Własności funkcji, rodzaje funkcji oraz ich wykresy są omawiane w kolejnych artykułach o funkcjach (wybierz Funkcje z bocznego menu).
Inne zagadnienia z tej lekcji
Wyznaczanie wartości i argumentów funkcji

Wyznaczenie wartości polega zwykle na podstawieniu argumentu funkcji do wzoru, który określa tę funkcję.
Wyznaczanie dziedziny funkcji

Dziedzina jest zbiorem argumentów funkcji. Wyznaczanie dziedziny funkcji.
© medianauka.pl, 2009-04-28, ART-190