Funkcja

Definicja

Funkcja (odwzorowanie) zbioru X w zbiór Y jest to przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y

Funkcję zapisujemy w następujący sposób:

$f(x)=x \rightarrow y, \quad gdzie \quad x \in X, \quad y \in Y$

lub prościej:

$y=f(x), \quad gdzie \quad x \in X, \quad y \in Y$

Argument i wartość funkcji

Element x nazywamy argumentem funkcji lub zmienną niezależną.
Element y nazywamy wartością funkcji lub zmienną zależną.

Przykład

Jeżeli zdefiniujemy funkcję, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje liczbę do niej przeciwną, to argumentami funkcji będą liczby naturalne, a wartościami funkcji liczby całkowite ujemne.

Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji i często oznaczamy przez $D_{f}$ .
Używamy także pojęcia przeciwdziedziny (zbioru wartości funkcji). Jest to zbiór takich $y \in Y$ , dla których istnieje $x \in X$ takie, że . Przeciwdziedzinę oznaczamy przez $D_{f}^{-1}$ .

W praktyce warunek y∈Y pomijamy, natomiast pomijając warunek x∈X przyjmujemy, że dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb, dla których spełniona jest prawa strona równości .

Jeżeli mamy do czynienia z przypadkiem, w którym każdy element zbioru Y jest przyporządkowany co najmniej jednemu elementowi ze zbioru X, to mówimy, że zbiór X jest odwzorowany na zbiór Y. W takim przypadku zbiór Y jest przeciwdziedziną funkcji.

Przykłady

Przykład 1

funkcja

Rysunek ilustruje przykład funkcji f, która każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y. Dziedzina jest tutaj trójelementowa, przeciwdziedzina również ma trzy elementy. Przykład ten ilustruje odwzorowanie zbioru X na zbiór Y. W takim odwzorowaniu przeciwdziedziną jest cały zbiór Y.

Określaniem dziedziny i przeciwdziedziny funkcji zajmiemy się w kolejnych artykułach (linki na dole).

Przykład 2

funkcja

Tutaj również mamy do czynienia z funkcją mimo, że w zbiorze Y znajduje się element nie przyporządkowany żadnemu elementowi ze zbioru X. Mamy więc do czynienia z odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y (nie jest to odwzorowanie "na") i w tym przypadku zbiór Y nie jest przeciwdziedziną funkcji. Przeciwdziedzina, zaznaczona w zbiorze Y innym kolorem, jest jego podzbiorem. Warto zauważyć, że dwa elementy ze zbioru X są przypisane do tego samego elementu ze zbioru Y.

Przykład 3

funkcja

Przyporządkowanie, które zostało zilustrowane na powyższym rysunku nie jest funkcją, gdyż nie każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowano element ze zbioru Y (w zbiorze X pozostał 1 element, który nie jest przyporządkowany).

Przykład 4

funkcja

Przyporządkowanie, które zostało zilustrowane na powyższym rysunku nie jest funkcją, gdyż jednemu elementowi ze zbioru X (zaznaczono go na czerwono) przyporządkowano aż dwa elementy ze zbioru Y, a w myśl definicji funkcji, ma być przyporządkowany dokładnie jeden element.

Przykłady określania funkcji

A oto inne przykłady funkcji:

Każdemu z 25 uczniów klasy Ib przyporządkowano numer w dzienniku.
Jest to przykład funkcji. Dziedziną jest tutaj 25-elementowy zbiór uczniów, przeciwdziedziną zbiór liczb naturalnych w zakresu od 1 do 25. Jest to ponadto odwzorowanie zbioru X na zbiór Y.

Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy liczbę o jeden większą.
Jest to przykład funkcji liczbowej. Możemy ją zapisać w postaci: y=x+1. Dziedziną i przeciwdziedziną jest tutaj zbiór liczb rzeczywistych R.

Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej kwadrat.
Jest to przykład funkcji liczbowej. Możemy ją zapisać w postaci: f(x)=x². Dziedziną i przeciwdziedziną jest tutaj zbiór liczb rzeczywistych R.

Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy liczbę 1.
Jest to przykład funkcji liczbowej. Możemy ją zapisać w postaci: f(x)=1. Dziedziną jest tutaj zbiór liczb rzeczywistych R, natomiast przeciwdziedziną zbiór {1}.

Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej odwrotność.
Jest to przykład funkcji liczbowej. Możemy ją zapisać w postaci: $y=\frac{1}{x}$ . Dziedziną i przeciwdziedziną jest tutaj zbiór R\{0}.

Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy jego pole powierzchni.
Jest to przykład funkcji. Dziedziną jest zbiór wszystkich trójkątów. Przeciwdziedziną jest tutaj zbiór R₊.