Funkcja odwrotna i funkcja tożsamościowa

Zajmiemy się w niniejszym artykule dwoma pojęciami związanymi z podstawowymi właściwościami funkcji.

Funkcja odwrotna

Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X są przyporządkowane różne elementy y ze zbioru Y za pomocą funkcji f, to możemy również każdemu elementowi y ze zbioru Y przyporządkować dokładnie jeden element x ze zbioru X tak, że obrazem x w odwzorowaniu f jest y.
W ten sposób stworzyliśmy funkcję odwrotną do funkcji f i oznaczamy ją przez f ^-1.

Odwzorowanie odwrotne ilustruje poniższa animacja:

Animacja

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby funkcja f:X→Y posiadała funkcję odwrotną jest następujący: funkcja f musi być różnowartościowa, a zbiór Y zbiorem wartości funkcji f.

Odwzorowanie, do którego istnieje odwzorowanie odwrotne nazywamy wzajemnie jednoznacznym albo odwracalnym.

Oczywiście nie każda funkcja posiada funkcję odwrotną. Na przykład funkcja f(x)=5 nie posiada funkcji odwrotnej, gdyż nie jest to funkcja różnowartościowa.

Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji y=f(x) wystarczy wyrazić x poprzez wartość y i w ten sposób otrzymujemy funkcję x=g(y). Zamieniając ze sobą symbole x i y otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej.

Przykłady funkcji odwrotnych

Znajdziemy funkcję odwrotną do y=2x+1

Wyznaczamy x z powyższego równania:
$2x=y-1\\ x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$
Zamieniamy teraz ze sobą symbole x i y i otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej: $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

Funkcja tożsamościowa

Odwzorowaniem tożsamościowym nazywamy odwzorowanie zbioru X na X, takie że $x\rightarrow y=x$

Przykład funkcji tożsamościowej

Przykładem funkcji tożsamościowej jest funkcja f(x)=x. Funkcja f(x)=2x już tożsamościowa nie jest.

Odwzorowanie tożsamościowe i odwrotne do niego jest wzajemnie jednoznaczne.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji y=2x-5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcja złożona

Omówienie takich pojęć jak funkcja złożona (superpozycja), funkcja wewnętrzna i zewnętrzna.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.