Funkcja odwrotna i funkcja tożsamościowa
Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X są przyporządkowane różne elementy y ze zbioru Y za pomocą funkcji f, to możemy również każdemu elementowi y ze zbioru Y przyporządkować dokładnie jeden element x ze zbioru X tak, że obrazem x w odwzorowaniu f jest y.
W ten sposób stworzyliśmy funkcję odwrotną do funkcji f i oznaczamy ją przez f -1.
Odwzorowanie odwrotne ilustruje poniższa animacja:
Animacja
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby funkcja f:X→Y posiadała funkcję odwrotną jest następujący: funkcja f musi być różnowartościowa, a zbiór Y zbiorem wartości funkcji f.
Odwzorowanie, do którego istnieje odwzorowanie odwrotne nazywamy wzajemnie jednoznacznym albo odwracalnym.
Oczywiście nie każda funkcja posiada funkcję odwrotną. Na przykład funkcja f(x)=5 nie posiada funkcji odwrotnej, gdyż nie jest to funkcja różnowartościowa.
Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji y=f(x) wystarczy wyrazić x poprzez wartość y i w ten sposób otrzymujemy funkcję x=g(y). Zamieniając ze sobą symbole x i y otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej.
Przykład
Znajdziemy funkcję odwrotną do y=2x+1
Wyznaczamy x z powyższego równania:
.
Zamieniamy teraz ze sobą symbole x i y i otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej: 
Odwzorowaniem tożsamościowym nazywamy odwzorowanie zbioru X na X, takie że 
Przykładem funkcji tożsamościowej jest funkcja f(x)=x. Funkcja f(x)=2x już tożsamościowa nie jest.
Odwzorowanie tożsamościowe i odwrotne do niego jest wzajemnie jednoznaczne.
© medianauka.pl, 2009-05-20, ART-210
Inne zagadnienia z tej lekcji
Zadania z rozwiązaniami
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.
Zadanie - funkcja odwrotna
Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji y=2x-5
