Funkcja złożona

Niech dziedziną funkcji f będzie zbiór A, a przeciwdziedziną zbiór B. Niech dziedziną funkcji g będzie zbiór, który zawiera przeciwdziedzinę funkcji f, a przeciwdziedziną zbiór C. Istnieje funkcja $h:A \rightarrow C$ określona w następujący sposób: . Funkcję taką nazywamy funkcją złożoną lub superpozycją funkcji f i g.

Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez lub $(g \circ f)(x)$ .

Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, natomiast funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną.

Pojęcie funkcji najlepiej zrozumieć za pomocą grafu, który przedstawia poniższa animacja:

Animacja

Przykład

Oto przykłady funkcji złożonych:

1) $y=\sin 3x$
funkcja f(x)=3x jest tutaj funkcją wewnętrzną, natomiast funkcja sinus - zewnętrzną.
2) $y= \sin^2 x$
funkcją wewnętrzną jest tutaj funkcja f(x)=sinx, a zewnętrzną funkcja kwadratowa.
3) $y=3\log^2 x+ \log x-1$
funkcja wewnętrzna to f(x)=logx, a zewnętrzna to g(u)=3u²+u-1.

Identyfikacja funkcji złożonej i rozkład na funkcję wewnętrzną i zewnętrzna ma duże znaczenie przy obliczaniu pochodnej funkcji.

Nie zawsze możemy też złożyć dwie funkcje. Zauważmy, że w trzecim przykładzie mamy określoną funkcję $(g \circ f)(x)$ , ale nie możemy już dokonać złożenia $(f \circ g)(x)$ , z takiego powodu, że przeciwdziedzina funkcji g(zbiór liczb rzeczywistych) nie zawiera się w dziedzinie funkcji f (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich).