Funkcja złożona

Niech dziedziną funkcji f będzie zbiór A, a przeciwdziedziną zbiór B. Niech dziedziną funkcji g będzie zbiór, który zawiera przeciwdziedzinę funkcji f, a przeciwdziedziną zbiór C. Istnieje funkcja $h:A \rightarrow C$ określona w następujący sposób: . Funkcję taką nazywamy funkcją złożoną lub superpozycją funkcji f i g.

Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez lub $(g \circ f)(x)$ .

Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, natomiast funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną.

Pojęcie funkcji najlepiej zrozumieć za pomocą grafu, który przedstawia poniższa animacja:

Animacja

Przykład

Oto przykłady funkcji złożonych:

1) $y=\sin 3x$
funkcja f(x)=3x jest tutaj funkcją wewnętrzną, natomiast funkcja sinus - zewnętrzną.
2) $y= \sin^2 x$
funkcją wewnętrzną jest tutaj funkcja f(x)=sinx, a zewnętrzną funkcja kwadratowa.
3) $y=3\log^2 x+ \log x-1$
funkcja wewnętrzna to f(x)=logx, a zewnętrzna to g(u)=3u²+u-1.

Identyfikacja funkcji złożonej i rozkład na funkcję wewnętrzną i zewnętrzna ma duże znaczenie przy obliczaniu pochodnej funkcji.

Nie zawsze możemy też złożyć dwie funkcje. Zauważmy, że w trzecim przykładzie mamy określoną funkcję $(g \circ f)(x)$ , ale nie możemy już dokonać złożenia $(f \circ g)(x)$ , z takiego powodu, że przeciwdziedzina funkcji g(zbiór liczb rzeczywistych) nie zawiera się w dziedzinie funkcji f (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich).

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dane są funkcje:
a) $f(x)=x^2\\ g(x)=3x+1$
b) $f(x)=3x+1\\ g(x)=logx$
c) $f(x)=2x, \ x> 0\\ g(x)=logx$
Znaleźć złożenie funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ f)(x)$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dane są funkcje:
a) $f(x)=\cos{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=\sin{x}\\ g(x)=x^2$
c) $f(x)=\log{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
Znaleźć złożenie tych funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ g)(x)$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcja odwrotna i tożsamościowa

Omówienie takich pojęć matematycznych jak funkcja odwrotna i funkcja tożsamościowa.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.