Logo Serwisu Media Nauka


Funkcja złożona

Teoria Niech dziedziną funkcji f będzie zbiór A, a przeciwdziedziną zbiór B. Niech dziedziną funkcji g będzie zbiór, który zawiera przeciwdziedzinę funkcji f, a przeciwdziedziną zbiór C. Istnieje funkcja h:A \rightarrow C określona w następujący sposób: h(x)=g(f(x)). Funkcję taką nazywamy funkcją złożoną lub superpozycją funkcji f i g.

Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez g(f(x)) lub (g \circ f)(x).

Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, natomiast funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną.

Pojęcie funkcji najlepiej zrozumieć za pomocą grafu, który przedstawia poniższa animacja:


Przykład Przykład

Oto przykłady funkcji złożonych:

1) y=\sin 3x
funkcja f(x)=3x jest tutaj funkcją wewnętrzną, natomiast funkcja sinus - zewnętrzną.
2) y= \sin^2 x
funkcją wewnętrzną jest tutaj funkcja f(x)=sinx, a zewnętrzną funkcja kwadratowa.
3) y=3\log^2 x+ \log x-1
funkcja wewnętrzna to f(x)=logx, a zewnętrzna to g(u)=3u2+u-1.

Teoria Identyfikacja funkcji złożonej i rozkład na funkcję wewnętrzną i zewnętrzna ma duże znaczenie przy obliczaniu pochodnej funkcji.

Nie zawsze możemy też złożyć dwie funkcje. Zauważmy, że w trzecim przykładzie mamy określoną funkcję (g \circ f)(x), ale nie możemy już dokonać złożenia (f \circ g)(x), z takiego powodu, że przeciwdziedzina funkcji g(zbiór liczb rzeczywistych) nie zawiera się w dziedzinie funkcji f (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich).


© Media Nauka, 2009-05-21, ART-211



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie - składanie funkcji
Dane są funkcje:
a) f(x)=x^2\\ g(x)=3x+1
b) f(x)=3x+1\\ g(x)=logx
c) f(x)=2x, \ x> 0\\ g(x)=logx
Znaleźć złożenie funkcji:(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ f)(x)

zadanie - ikonka Zadanie - funkcja złożona
Dane są funkcje:
a) f(x)=\cos{x}\\ g(x)=\sqrt{x}
b) f(x)=\sin{x}\\ g(x)=x^2
c) f(x)=\log{x}\\ g(x)=\sqrt{x}
Znaleźć złożenie tych funkcji: (g\circ f)(x) \ i \ (f\circ g)(x)



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy koszyk