Zadanie - funkcja złożona

Rozwiązanie części a)

Złożenie funkcji jest możliwe tylko w niektórych przypadkach, a mianowicie wówczas, gdy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez \(D\), a przeciwdziedzinę przez \(D^{-1}\).

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji \(f\) i \(g\).

\(D_f=\mathbb{R},\ D_f^{-1}=\langle -1;1\rangle\)

\(D_g=\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace,\ D_g^{-1}=\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\)

1) Złożenie funkcji \(f\) z \(g\) oznaczamy przez \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\). Funkcja \(f(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(g(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_f^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_g\).

\(\langle -1;1\rangle \not\subseteq \mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\)

\(D_f^{-1}\not\subseteq D_g\)

Nie możemy zatem złożyć funkcji \(f\) z \(g\).

2) Złożenie funkcji \(g\) z \(f\) oznaczamy przez \((f\circ g)(x)=f[g(x)]\). Funkcja \(g(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(f(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_g^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_f\).

\(\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\subseteq \mathbb{R}\)

\(D_g^{-1} \subset D_f\)

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji \(g\) z \(f\) musimy za zmienną \(x\) funkcji \(f\) podstawić wartość funkcji \(g\):

\((f\circ g)(x)=f[g(x)]=\cos{\sqrt{x}}\)

Odpowiedź

Rozwiązanie części b)

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji \(f\) i \(g\).

\(D_f=\mathbb{R},\ D_f^{-1}=\langle -1;1\rangle\)

\(D_g=\mathbb{R},\ D_g^{-1}=\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\)

1) Złożenie funkcji \(f\) z \(g\) oznaczamy przez \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\). Funkcja \(f(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(g(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_f^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_g\).

\(\langle -1;1\rangle \subset \mathbb{R}\)

\(D_f^{-1}\subset D_g\)

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji \(f\) z \(g\) musimy za zmienną x funkcji \(g\) podstawić wartość funkcji \(f\):

\((g\circ f)(x)=g[f(x)]=(\sin{x})^2=\sin^2{x}\)

2) Złożenie funkcji \(g\) z \(f\) oznaczamy przez \((f\circ g)(x)=f[g(x)]\). Funkcja \(g(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(f(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_g^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_f\).

\(\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\subseteq \mathbb{R}\)

\(D_g^{-1} \subset D_f\)

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji \(g\) z \(f\) musimy za zmienną x funkcji \(f\) podstawić wartość funkcji \(g\):

\((f\circ g)(x)=f[g(x)]=\sin{x^2}\)

Odpowiedź

Rozwiązanie części c)

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji \(f\) i \(g\).

\(D_f=\mathbb{R}_+,\ D_f^{-1}=\mathbb{R}\)

\(D_g=\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace,\ D_g^{-1}=\mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\)

1) Złożenie funkcji \(f\) z \(g\) oznaczamy przez \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\). Funkcja \(f(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(g(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_f^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_g\).

\(\mathbb{R} \not\subseteq \mathbb{R}_+\cup \lbrace 0 \rbrace\)\)

\(D_f^{-1}\not\subseteq D_g\)

Nie możemy zatem złożyć funkcji \(f\) z \(g\).

2) Złożenie funkcji \(g\) z \(f\) oznaczamy przez \((f\circ g)(x)=f[g(x)]\). Funkcja \(g(x)\) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja \(f(x)\) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej \(D_g^{-1}\) zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli \(D_f\).

\(R_+\cup \lbrace 0 \rbrace \not\subseteq R_+\)

\(D_g^{-1} \not\subseteq D_f\)

Nie możemy zatem złożyć funkcji \(f\) z \(g\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-03-17, ZAD-705

Zadania podobne

Dane są funkcje:

1. \(f(x)=x^2, g(x)=3x+1\)
2. \(f(x)=3x+1, g(x)=\log{x}\)
3. \(f(x)=2x,\ x> 0, g(x)=\log{x}\)

Znaleźć złożenie funkcji: \((g\circ f)(x)\) i \((f\circ f)(x)\).