Strona główna » Matematyka » Funkcja złożona

zadanie

Zadanie - funkcja złożona

Dane są funkcje:
a) $f(x)=\cos{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=\sin{x}\\ g(x)=x^2$
c) $f(x)=\log{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
Znaleźć złożenie tych funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ g)(x)$

a) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Złożenie funkcji jest możliwe tylko w niektórych przypadkach, a mianowicie wówczas, gdy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D^-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R,\ D_f^{-1}=\langle -1;1\rangle,\\ D_g=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace$

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$ . Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_f^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_g.

$\langle -1;1\rangle \not\subseteq R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\\ D_f^{-1}\not\subseteq D_g$

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez $(f\circ g)(x)=f[g(x)]$ . Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_g^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_f.

$R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\subseteq R\\ D_g^{-1} \subset D_f$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=\cos{\sqrt{x}}$

Odpowiedź

$(f\circ g)(x)=\cos{\sqrt{x}}$

b) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R,\ D_f^{-1}=\langle -1;1\rangle,\\ D_g=R,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace$

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$ . Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_f^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_g.

$\langle -1;1\rangle \subset R\\ D_f^{-1}\subset D_g$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji f z g musimy za zmienną x funkcji g podstawić wartość funkcji f:

$(g\circ f)(x)=g[f(x)]=(\sin{x})^2=\sin^2{x}$

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez $(f\circ g)(x)=f[g(x)]$ . Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_g^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_f.

$R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\subseteq R\\ D_g^{-1} \subset D_f$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=\sin{x^2}$

Odpowiedź

$(g\circ f)(x)=\sin^2{x}, \ (f\circ g)(x)=\sin{x^2}$

c) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R_+,\ D_f^{-1}=R,\\ D_g=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace$

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$ . Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_f^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_g.

$R \not\subseteq R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\\ D_f^{-1}\not\subseteq D_g$

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez $(f\circ g)(x)=f[g(x)]$ . Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_g^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_f.

$R_+\cup \lbrace 0 \rbrace \not\subseteq R_+\\ D_g^{-1} \not\subseteq D_f$

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

Odpowiedź

Nie ma możliwości złożenia tych funkcji.

© medianauka.pl, 2010-03-17, ZAD-705

Zadania podobne

Zadanie - składanie funkcji
Dane są funkcje:
a) $f(x)=x^2\\ g(x)=3x+1$
b) $f(x)=3x+1\\ g(x)=logx$
c) $f(x)=2x, \ x> 0\\ g(x)=logx$
Znaleźć złożenie funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ f)(x)$

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Jeszcze krótsza historia czasu

Jeszcze krótsza historia czasu
Stephen Hawking

105 przykładów zastosowań całki oznaczonej

105 przykładów zastosowań całki oznaczonej
Regel Wiesława

110 zadań o funkcjach trygonometrycznych

110 zadań o funkcjach trygonometrycznych
Regel Wiesława

Wszechświat w skorupce orzecha - TW

Wszechświat w skorupce orzecha - TW
Stephen Hawking

© Media Nauka 2008-2017 r.