Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - funkcja złożona


Dane są funkcje:
a) f(x)=\cos{x}\\ g(x)=\sqrt{x}
b) f(x)=\sin{x}\\ g(x)=x^2
c) f(x)=\log{x}\\ g(x)=\sqrt{x}
Znaleźć złożenie tych funkcji: (g\circ f)(x) \ i \ (f\circ g)(x)


ksiązki a) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Złożenie funkcji jest możliwe tylko w niektórych przypadkach, a mianowicie wówczas, gdy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

D_f=R,\ D_f^{-1}=\langle -1;1\rangle,\\ D_g=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez (g\circ f)(x)=g[f(x)]. Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Df-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Dg.

\langle -1;1\rangle \not\subseteq R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\\ D_f^{-1}\not\subseteq D_g

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez (f\circ g)(x)=f[g(x)]. Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Dg-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Df.

R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\subseteq R\\ D_g^{-1} \subset D_f

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

(f\circ g)(x)=f[g(x)]=\cos{\sqrt{x}}

ksiązki Odpowiedź

(f\circ g)(x)=\cos{\sqrt{x}}

ksiązki b) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

D_f=R,\ D_f^{-1}=\langle -1;1\rangle,\\ D_g=R,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez (g\circ f)(x)=g[f(x)]. Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Df-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Dg.

\langle -1;1\rangle \subset R\\ D_f^{-1}\subset D_g

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji f z g musimy za zmienną x funkcji g podstawić wartość funkcji f:

(g\circ f)(x)=g[f(x)]=(\sin{x})^2=\sin^2{x}

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez (f\circ g)(x)=f[g(x)]. Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Dg-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Df.

R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\subseteq R\\ D_g^{-1} \subset D_f

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

(f\circ g)(x)=f[g(x)]=\sin{x^2}

ksiązki Odpowiedź

(g\circ f)(x)=\sin^2{x}, \ (f\circ g)(x)=\sin{x^2}

ksiązki c) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

D_f=R_+,\ D_f^{-1}=R,\\ D_g=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez (g\circ f)(x)=g[f(x)]. Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Df-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Dg.

R \not\subseteq R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\\ D_f^{-1}\not\subseteq D_g

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez (f\circ g)(x)=f[g(x)]. Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Dg-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Df.

R_+\cup \lbrace 0 \rbrace \not\subseteq R_+\\ D_g^{-1} \not\subseteq D_f

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

ksiązki Odpowiedź

Nie ma możliwości złożenia tych funkcji.

© medianauka.pl, 2010-03-17, ZAD-705





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.