Nauka » Matematyka » Funkcja złożona

Zadanie - funkcja złożona

Dane są funkcje:
a) $f(x)=\cos{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=\sin{x}\\ g(x)=x^2$
c) $f(x)=\log{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
Znaleźć złożenie tych funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ g)(x)$

a) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Złożenie funkcji jest możliwe tylko w niektórych przypadkach, a mianowicie wówczas, gdy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D^-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R,\ D_f^{-1}=\langle -1;1\rangle,\\ D_g=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace$

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$ . Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_f^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_g.

$\langle -1;1\rangle \not\subseteq R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\\ D_f^{-1}\not\subseteq D_g$

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez $(f\circ g)(x)=f[g(x)]$ . Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_g^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_f.

$R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\subseteq R\\ D_g^{-1} \subset D_f$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=\cos{\sqrt{x}}$

Odpowiedź

$(f\circ g)(x)=\cos{\sqrt{x}}$

b) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R,\ D_f^{-1}=\langle -1;1\rangle,\\ D_g=R,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace$

$\langle -1;1\rangle \subset R\\ D_f^{-1}\subset D_g$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji f z g musimy za zmienną x funkcji g podstawić wartość funkcji f:

$(g\circ f)(x)=g[f(x)]=(\sin{x})^2=\sin^2{x}$

$R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\subseteq R\\ D_g^{-1} \subset D_f$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=\sin{x^2}$

Odpowiedź

$(g\circ f)(x)=\sin^2{x}, \ (f\circ g)(x)=\sin{x^2}$

c) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R_+,\ D_f^{-1}=R,\\ D_g=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace,\ D_g^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace$

$R \not\subseteq R_+\cup \lbrace 0 \rbrace\\ D_f^{-1}\not\subseteq D_g$

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

$R_+\cup \lbrace 0 \rbrace \not\subseteq R_+\\ D_g^{-1} \not\subseteq D_f$

Nie możemy zatem złożyć funkcji f z g.

Odpowiedź

Nie ma możliwości złożenia tych funkcji.

Zadania podobne

Zadanie - składanie funkcji
Dane są funkcje:
a) $f(x)=x^2\\ g(x)=3x+1$
b) $f(x)=3x+1\\ g(x)=logx$
c) $f(x)=2x, \ x> 0\\ g(x)=logx$
Znaleźć złożenie funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ f)(x)$

Pokaż rozwiązanie zadania