Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - składanie funkcji


Dane są funkcje:
a) f(x)=x^2\\ g(x)=3x+1
b) f(x)=3x+1\\ g(x)=logx
c) f(x)=2x, \ x> 0\\ g(x)=logx
Znaleźć złożenie funkcji:(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ f)(x)


ksiązki a) Rozwiązanie szczegółowe

Złożenie funkcji nie zawsze jest możliwe. Aby to określić, trzeba mieć pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

D_f=R,\ D_f^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace, \\ D_g=R,\ D_g^{-1}=R

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez (g\circ f)(x)=g[f(x)]. Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Df-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Dg.

R_+\cup \lbrace 0 \rbrace \subset R, \\ D_f^{-1} \subset D_g

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji f z g musimy za zmienną x funkcji g podstawić wartość funkcji f:

(g\circ f)(x)=g[f(x)]=2(x^2)+1=3x^2+1

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez (f\circ g)(x)=f[g(x)]. Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Dg-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Df.

D_g^{-1} = D_f

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

(f\circ g)(x)=f[g(x)]=(3x+1)^2=9x^2+6x+1

ksiązki Odpowiedź

(g\circ f)(x)=3x^2+1, \ (f\circ g)(x)=9x^2+6x+1

ksiązki b) Rozwiązanie szczegółowe

Trzeba mieć najpierw pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

D_f=R,\ D_f^{-1}=R,\\  D_g=R_+,\ D_g^{-1}=R

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez (g\circ f)(x)=g[f(x)]. Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Df-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Dg.

R \not\subseteq R_+, \\ D_f^{-1} \not\subseteq D_g

Nie możemy więc składać funkcji.

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez (f\circ g)(x)=f[g(x)]. Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Dg-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Df.

D_g^{-1} = D_f

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

(f\circ g)(x)=f[g(x)]=3logx+1

ksiązki Odpowiedź

(f\circ g)(x)=3logx+1

ksiązki c) Rozwiązanie szczegółowe

Złożenie funkcji czasem nie jest możliwe. Aby to określić, kiedy może mieć miejsce trzeba mieć pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

D_f=R_+,\ D_f^{-1}=R_+,\\  D_g=R_+,\ D_g^{-1}=R

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez (g\circ f)(x)=g[f(x)]. Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Df-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Dg.

D_f^{-1} = D_g

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji f z g musimy za zmienną x funkcji g podstawić wartość funkcji f:

(g\circ f)(x)=g[f(x)]=\log{2x}

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez (f\circ g)(x)=f[g(x)]. Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej Dg-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli Df.

R\not\subseteq R_+ \\ D_g^{-1} \not\subseteq D_f

Nie możemy więc złożyć funkcji funkcji.

ksiązki Odpowiedź

(g\circ f)(x)=\log{2x}

© medianauka.pl, 2010-03-16, ZAD-701





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.