Nauka » Matematyka » Funkcja złożona

Zadanie - składanie funkcji

Dane są funkcje:
a) $f(x)=x^2\\ g(x)=3x+1$
b) $f(x)=3x+1\\ g(x)=logx$
c) $f(x)=2x, \ x> 0\\ g(x)=logx$
Znaleźć złożenie funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ f)(x)$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Złożenie funkcji nie zawsze jest możliwe. Aby to określić, trzeba mieć pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D^-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R,\ D_f^{-1}=R_+\cup \lbrace 0 \rbrace, \\ D_g=R,\ D_g^{-1}=R$

1) Złożenie funkcji f z g oznaczamy przez $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$ . Funkcja f(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja g(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_f^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_g.

$R_+\cup \lbrace 0 \rbrace \subset R, \\ D_f^{-1} \subset D_g$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji f z g musimy za zmienną x funkcji g podstawić wartość funkcji f:

$(g\circ f)(x)=g[f(x)]=2(x^2)+1=3x^2+1$

2) Złożenie funkcji g z f oznaczamy przez $(f\circ g)(x)=f[g(x)]$ . Funkcja g(x) ma być funkcją wewnętrzną, funkcja f(x) - zewnętrzną. Sprawdzamy, czy przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej D_g^-1 zawiera się (lub jest równa) w dziedzinie funkcji zewnętrznej czyli D_f.

$D_g^{-1} = D_f$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=(3x+1)^2=9x^2+6x+1$

Odpowiedź

$(g\circ f)(x)=3x^2+1, \ (f\circ g)(x)=9x^2+6x+1$

b) Rozwiązanie szczegółowe

Trzeba mieć najpierw pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D^-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R,\ D_f^{-1}=R,\\ D_g=R_+,\ D_g^{-1}=R$

$R \not\subseteq R_+, \\ D_f^{-1} \not\subseteq D_g$

Nie możemy więc składać funkcji.

$D_g^{-1} = D_f$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji g z f musimy za zmienną x funkcji f podstawić wartość funkcji g:

$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=3logx+1$

Odpowiedź

$(f\circ g)(x)=3logx+1$

c) Rozwiązanie szczegółowe

Złożenie funkcji czasem nie jest możliwe. Aby to określić, kiedy może mieć miejsce trzeba mieć pewność, że przeciwdziedzina funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Oznaczmy dziedzinę funkcji przez D, a przeciwdziedzinę przez D^-1.

Wyznaczamy dziedziny i przeciwdziedziny funkcji f i g

$D_f=R_+,\ D_f^{-1}=R_+,\\ D_g=R_+,\ D_g^{-1}=R$

$D_f^{-1} = D_g$

Możemy więc składać funkcję. Aby znaleźć złożenie funkcji f z g musimy za zmienną x funkcji g podstawić wartość funkcji f:

$(g\circ f)(x)=g[f(x)]=\log{2x}$

$R\not\subseteq R_+ \\ D_g^{-1} \not\subseteq D_f$

Nie możemy więc złożyć funkcji funkcji.

Odpowiedź

$(g\circ f)(x)=\log{2x}$

Zadania podobne

Zadanie - funkcja złożona
Dane są funkcje:
a) $f(x)=\cos{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
b) $f(x)=\sin{x}\\ g(x)=x^2$
c) $f(x)=\log{x}\\ g(x)=\sqrt{x}$
Znaleźć złożenie tych funkcji: $(g\circ f)(x) \ i \ (f\circ g)(x)$

Pokaż rozwiązanie zadania