Funkcja różnowartościowa

Definicja

Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową w zbiorze A, będącym podzbiorem dziedziny funkcji f(x), jeżeli dla każdych $x_1,x_2\in A$ prawdziwa jest implikacja: $(x_1 \neq x_2) \Rightarrow f(x_1) \neq f(x2)$ .

Powyższa definicja oznacza, że funkcja różnowartościowa, to taka funkcja, która różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości funkcji.

Przykład

Przykłady funkcji różnowartościowych:

$y=2x+1\\ y=\frac{1}{x}\\ y=\log x$

Przykład

A oto przykłady funkcji, które funkcjami różnowartościowymi nie są:

y=5 (każdemu argumentowi przyporządkowana jest liczba 5)
y=x²(na przykład liczbom 2 i -2 przyporządkowana jest taka sama wartość: 4)
y=|x|

Poniższa ilustracja przedstawia przykład funkcji różnowartościowej.

Pytania

Jak wykazać różnowartościowość funkcji?

Zakładamy, że x₁≠x₂, czyli x₁-x₂≠0. Musimy wykazać prawdziwość naszej tezy: f(x₁)≠f(x₂), czyli f(x₁)-f(x₂)≠0.

Dla przykładu zbadajmy funkcję liniową y=ax+b. Mamy więc:
f(x₁)=ax₁+b
f(x₂)=ax₂+b
f(x₁)-f(x₂)=ax₁+b-(ax₂+b)=ax₁-ax₂=a(x₁-x₂)
Ponieważ założenie mówi, że x₁-x₂≠0, to mamy dwa przypadki:
a) gdy a=0, f(x₁)-f(x₂)=0, czyli udowodniliśmy, że funkcja stała nie jest różnowartościowa,
b) gdy a≠0, f(x₁)-f(x₂)≠0, czyli udowodniliśmy, że funkcja liniowa jest różnowartościowa w każdym innym przypadku.