Podzbiory

Zawieranie się zbiorów

Jeżeli każdy element zbioru A należy do zbioru B, to mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B i oznaczamy: \(A\subset B\).

Zawieranie się zbioru A w zbiorze B można zilustrować tak jak na poniższym rysunku.

Przykłady

A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, \(A\subset B\), ponieważ elementy „1” i „2” zbioru A są elementami zbioru B. Zbiór B nie zawiera się w zbiorze A, bo element „3” nie jest elementem zbioru A. Przykład ten został przedstawiony na ilustracji.
Zbiór {a, g} zawiera się w zbiorze {a, h, g}.
Zbiór kwadratów zawiera się w zbiorze prostokątów, a zbiór prostokątów zawiera się w zbiorze czworokątów.

Podzbiór

Jeżeli \(A\subset B\), to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B, a zbiór B nazywamy nadzbiorem zbioru A.

Z definicji zawierania się zbioru w zbiorze wynika, że:

\(\emptyset \subset A\) (zbiór pusty jest podzbiorem A i każdego innego zbioru).
\(A\subset A\) (zbiór A jest podzbiorem samego siebie).

Jeżeli zbiór A nie jest podzbiorem zbioru B, to możemy użyć zapisu \(A⊄B\).

Uwaga: W wielu źródłach symbol „⊂” oznacza podzbiór właściwy i wprowadza się dodatkowy symbol „⊆” dla określenia zawierania się jednego zbioru w drugim z dopuszczeniem równości tych zbiorów. W takim przypadku należy pisać A⊆A.

Zadanie 1

Znaleźć wszystkie podzbiory zbioru A = {a, b, c}.

Rozwiązanie: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A, \(\emptyset\).

Zadanie 2

Wypisz wszystkie podzbiory zbioru A = {1, 2}.

Rozwiązanie: {1}, {2}, {1, 2}, \(\emptyset\).

Równość zbiorów

Zbiory A i B są równe i zapisujemy A = B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A.

Przykład

Dla przykładu zbiory {1,2} oraz {2,1} są równe, gdyż zawierają dokładnie takie same elementy (kolejność wypisywania elementów zbioru nie ma znaczenia).