Iloczyn zbiorów

Definicja

Zbiór elementów, z których każdy należy do zbioru A i do B nazywamy iloczynem zbioru A i B i oznaczamy A∩B.

Symbol iloczynu zbiorów to ∩.

Iloczyn zbiorów można zilustrować za pomocą rysunku. Kolorem czerwonym zaznaczono iloczyn zbiorów A∩B. Iloczyn zbiorów to nic innego jak część wspólna zbiorów.

Przykłady

Przykład

Zbiory A i B zostały określone następująco:
A={1,2,3} i B={3,4,5}. Zgodnie z definicją iloczynu zbiorów ={3}. Przykład ten został przedstawiony na ilustracji.

Tworząc iloczyn zbiorów wypisujemy wszystkie elementy wspólne obu zbiorów.

Przykład

A oto inne przykłady różnicy zbiorów:

• {a,b,c}∩{c}={c}
• {a,b,c}∩{a,b,c}={a,b,c}
• {a,b,c}∩{d,e,f}=Ø
• {k1}∩{1k}=Ø (mamy tutaj zbiory jednoelementowe o różnych elementach)
• iloczynem zbioru liczb całkowitych większych od 5 i zbioru liczb całkowitych mniejszych od 10 jest zbiór {6,7,8,9}
  

Własności iloczynu zbiorów

Iloczyn zbiorów jest przemienny, czyli:

Iloczyn zbiorów jest łączny, czyli:

Zachodzą również następujące prawa:

• rozdzielności iloczynu względem sumy: (AB)∩C = (A∩C) ∩ (B∩C)
• rozdzielności sumy względem iloczynu: (A∩B)C = (AC) ∩ (BC)

  Zbiory rozłączne

  Definicja

  Zbiory nazywamy rozłącznymi jeżeli nie mają wspólnego elementu. Mówiąc inaczej zbiory A i B są rozłączne, jeżeli A∩B=Ø.

  Zbiory rozłączne można zilustrować następująco:

  

Prawa de Morgana dla zbiorów

Dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień: (A∪B)'=A'∩B'.

Dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień: (A∩B)'=A'∪B'.

© medianauka.pl, 2008-07-14, ART-65

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie - iloczyn zbiorów
Znaleźć iloczyn zbiorów:

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn zbiorów
Oblicz:
a) {5,6,7,8}∩{3,4,5}
b) {a,c}∩{1,2}
c) {a,b,c}∩{abc}
d) {1,2,3}∩{1,2}
e) N∩C

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn zbiorów
Zakreskować iloczyn zbiorów zilustrowanych na poniższym rysunku:

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Zbiór
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, a więc nie definiujemy go. Pojęciem pierwotnym jest także element zbioru.

Podzbiory
Pojęcie podzbioru, zawierania się zbiorów oraz równości zbiorów

Suma zbiorów
Zbiór elementów, z których każdy należy do zbioru A lub B nazywamy sumą zbioru A i B

Różnica zbiorów
Zbiór elementów, z których każdy należy do zbioru A i nie należy do B nazywamy różnicą zbioru A i B

Iloczyn kartezjański zbiorów
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x,y) takich, że x in A i y in B i oznaczamy A×B. Wynikiem tego działania jest wektor.

Test wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.