Iloczyn zbiorów

Definicja

Zbiór elementów, z których każdy należy do zbioru A i do B nazywamy iloczynem zbioru A i B i oznaczamy A∩B.

Symbol iloczynu zbiorów to ∩.

Iloczyn zbiorów można zilustrować za pomocą rysunku. Kolorem czerwonym zaznaczono iloczyn zbiorów A∩B. Iloczyn zbiorów to nic innego jak część wspólna zbiorów.

iloczynu zbiorów - reprezentacja graficzna

Przykłady

Przykład
iloczyn zbiorów - ilustracja, przykład

Zbiory A i B zostały określone następująco:
A={1,2,3} i B={3,4,5}. Zgodnie z definicją iloczynu zbiorów $A\cap{B}$ ={3}. Przykład ten został przedstawiony na ilustracji.

Tworząc iloczyn zbiorów wypisujemy wszystkie elementy wspólne obu zbiorów.

Przykład

A oto inne przykłady różnicy zbiorów:

{a,b,c}∩{c}={c}
{a,b,c}∩{a,b,c}={a,b,c}
{a,b,c}∩{d,e,f}=Ø
{k1}∩{1k}=Ø (mamy tutaj zbiory jednoelementowe o różnych elementach)
iloczynem zbioru liczb całkowitych większych od 5 i zbioru liczb całkowitych mniejszych od 10 jest zbiór {6,7,8,9}

Własności iloczynu zbiorów

Iloczyn zbiorów jest przemienny, czyli:

A∩B = B∩A

Iloczyn zbiorów jest łączny, czyli:

(A∩B)∩C = A∩(B∩C)

Zachodzą również następujące prawa:

rozdzielności iloczynu względem sumy: (A $\cup$ B)∩C = (A∩C) ∩ (B∩C)
rozdzielności sumy względem iloczynu: (A∩B) $\cup$ C = (A $\cup$ C) ∩ (B $\cup$ C)
Zbiory rozłączne

Definicja

Zbiory nazywamy rozłącznymi jeżeli nie mają wspólnego elementu. Mówiąc inaczej zbiory A i B są rozłączne, jeżeli A∩B=Ø.

Zbiory rozłączne można zilustrować następująco:

Prawa de Morgana dla zbiorów

Dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień: (A∪B)'=A'∩B'.

Dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień: (A∩B)'=A'∪B'.

Kalkulator - działania na zbiorach

W tym miejscu możesz obliczyć sumę, różnicę i iloczyn (część współną) zbiorów skończonych. Podaj elementy dwóch zbiorów (co najmniej jeden). Poszczególne elementy rozdzielaj przecinkami.

Wpisz dane:

Zbiór A={

}

Zbiór B={

}

Rozwiązanie:

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

Ćwiczenia
Wykonaj ćwiczenia związane z tematem

Iloczyn zbiorów

Filmy

Działania na zbiorach.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Iloczyn zbiorów

Zadanie - iloczyn zbiorów
Znaleźć iloczyn zbiorów: $\lbrace x\in R:x\geq -1 \rbrace \cap \lbrace x\in R:x<1 \rbrace$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn zbiorów
Oblicz:
a) {5,6,7,8}∩{3,4,5}
b) {a,c}∩{1,2}
c) {a,b,c}∩{abc}
d) {1,2,3}∩{1,2}
e) N∩C

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn zbiorów
Zakreskować iloczyn zbiorów zilustrowanych na poniższym rysunku:
zbiory
$a) A\cap B \cap C \\ b) A\cap C \\ c) (A\cup B) \cap C$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Zbiór

Zbiór jest pojęciem pierwotnym, a więc nie definiujemy go. Pojęciem pierwotnym jest także element zbioru.

Podzbiory

Pojęcie podzbioru, zawierania się zbiorów oraz równości zbiorów

Suma zbiorów

Zbiór elementów, z których każdy należy do zbioru A lub B nazywamy sumą zbioru A i B

Różnica zbiorów

Zbiór elementów, z których każdy należy do zbioru A i nie należy do B nazywamy różnicą zbioru A i B

Iloczyn kartezjański zbiorów

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x,y) takich, że x in A i y in B i oznaczamy A×B. Wynikiem tego działania jest wektor.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.

Iloczyn zbiorów

Przykłady

Własności iloczynu zbiorów

Zbiory rozłączne

Prawa de Morgana dla zbiorów

Ćwiczenia

Filmy

Zadania z rozwiązaniami

Inne zagadnienia z tej lekcji