Iloczyn zbiorów

Co to jest część wspólna, zwana także iloczynem zbiorów lub przekrojem zbiorów albo ich przecięciem?

Zbiór elementów, z których każdy należy do zbioru A i do B nazywamy iloczynem zbioru A i B lub ich częścią wspólną i oznaczamy A ∩ B.

Symbol iloczynu zbiorów to ∩.

Iloczyn zbiorów można zilustrować za pomocą rysunku. Kolorem czerwonym zaznaczono przekrój zbiorów A ∩ B. Iloczyn zbiorów to nic innego jak część wspólna zbiorów.

iloczynu zbiorów - reprezentacja graficzna

Przykłady

Zbiory A i B zostały określone następująco:
A = {1, 2, 3} i B = {3, 4, 5}. Zgodnie z definicją iloczynu zbiorów A ∩ B = {3}. Przykład ten został przedstawiony na ilustracji.

Tworząc iloczyn zbiorów, wypisujemy wszystkie elementy wspólne obu zbiorów.

Przykład

A oto inne przykłady różnicy zbiorów:

{a, b, c} ∩ {c} = {c};
{a, b, c} ∩ {a, b, c} = {a, b, c};
{a, b, c} ∩ {d, e, f} = Ø;
{„to”} ∩ {„ot”} = Ø (mamy tutaj zbiory jednoelementowe o różnych elementach);
iloczynem zbioru liczb całkowitych większych od 5 i zbioru liczb całkowitych mniejszych od 10 jest zbiór {6, 7, 8, 9}.

Własności części wspólnej zbiorów

Iloczyn zbiorów jest przemienny, czyli:

A ∩ B = B ∩ A

Iloczyn zbiorów jest łączny, czyli:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Zachodzą również następujące prawa:

rozdzielności iloczynu względem sumy: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
rozdzielności sumy względem iloczynu: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

Zbiory rozłączne

Definicja

Zbiory nazywamy rozłącznymi, jeżeli nie mają wspólnego elementu. Mówiąc inaczej zbiory A i B są rozłączne, jeżeli A ∩ B = Ø.

Zbiory rozłączne można zilustrować następująco:

częśc wspólna zbiorów - zbiory rozłączne

Prawa de Morgana dla zbiorów

Dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień: (A ∪ B)' = A' ∩ B'.

Dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień: (A ∩ B)' = A' ∪ B'.

Kalkulator — działania na zbiorach

W tym miejscu możesz obliczyć sumę, różnicę i część wspólną zbiorów skończonych. Podaj elementy dwóch zbiorów (co najmniej jeden). Poszczególne elementy rozdzielaj przecinkami.

Wpisz dane:

Zbiór A = {

}

Zbiór B = {

}

Rozwiązanie:

Pytania

Czy zbiory można mnożyć?

Iloczyn to wynik mnożenia. Nie mówimy jednak o typowym działaniu mnożenia w przypadku zbiorów. Dla zbiorów określa się dwa rodzaje iloczynów zbiorów. Pierwszym z nich jest działanie zdefiniowane w tym artykule, a drugim jest tak zwany iloczyn kartezjański, który został omówiony w odrębnym artyklule, do którego link znajdziesz poniżej.