Implikacja

Implikacją (wynikaniem) nazywamy zdanie "jeżeli p, to q" i zapisujemy: p ⇒ q.

Zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q następnikiem, a znak "⇒" czytamy "implikuje" lub "z ... wynika ..."

Wynikanie logiczne - przykłady

Przykłady implikacji:

Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 9, to liczba ta jest podzielna przez 3.
Jeżeli figura geometryczna posiada 3 boki, to figura jest kwadratem.
Jeżeli reszta z dzielenia liczby N jest równa 0, to liczba N jest parzysta.

Wyznaczenie wartości logicznej implikacji nie jest tak proste jak w przypadku koniunkcji, czy alternatywy, ponieważ w języku potocznym wynikanie stosuje się w węższym zakresie. Poniższa tabela charakteryzuje implikację:

p	q	p ⇒ q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Jak widać w tabeli, implikacja jest fałszywa tylko w przypadku, gdy z prawdy wynika fałsz. Innymi słowy z prawdy wynika tylko prawda Warto też zauważyć, że z fałszu może wynikać prawda! (wiersz 2 tabeli)

Przykłady

Przeanalizujmy wartości logiczne implikacji na przykładach:

dla N=7 zdanie p: liczba naturalna N jest podzielna przez 9 jest fałszywe i zdanie q: liczba N jest podzielna przez 3 jest fałszywe, a implikacja Jeżeli liczba naturalna N jest podzielna przez 9, to liczba N jest podzielna przez 3 przyjmuje wartość logiczną 1 - jest prawdziwa (wiersz 1)
dla N=3 zdanie p jest fałszywe (3 nie jest podzielne przez 9), ale zdanie q jest prawdziwe(3 jest podzielne przez 3),natomiast implikacja jest prawdziwa (wiersz 2).
Nie ma takiej liczby, która będąc podzielną przez 9 nie byłaby podzielna przez 3 (wiersz 3). Natomiast rozpatrzmy przykład z figurą geometryczną f. Niech f będzie trójkątem. Zdanie m: figura geometryczna f posiada 3 boki jest prawdziwe, natomiast zdanie n: figura f jest kwadratem jest kwadratem jest oczywiście fałszywe. Zatem implikacja Jeżeli figura geometryczna f posiada 3 boki, to figura f jest kwadratem jest fałszywa
dla N=18 zdanie p jest prawdziwe (18 jest podzielne przez 9) i zdanie q jest prawdziwe(18 jest podzielne przez 3) i implikacja przyjmuje wartość logiczną 1 (wiersz 4)

Poniżej przedstawione zostały podstawowe prawa logiki, stanowiące podstawę wszystkich dowodów matematycznych.

Reguła odrywania

Jeżeli prawdziwe są implikacja p ⇒ q zdanie p, to zdanie q jest prawdziwe.

Reguła przechodniości implikacji

Jeżeli prawdziwe są implikacje: p ⇒ q oraz q ⇒ r, to prawdziwa jest implikacja p ⇒ r.

Pytania

Co to jest następnik i poprzednik?

W logice poprzednik jest pierwszym członem implikacji. Następnik zaś jest drugim członem implikacji.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Warunek konieczny i wystarczający
Warunek konieczny i wystarczający: jeżeli ze zdania p wnika zdanie q, to p jest warunkiem wystarczającym dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla q.

Forma zdaniowa
Forma zdaniowa zmiennej x to wyrażenie, w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem logicznym, gdy w miejsce x podstawimy dowolny element zbioru D.

Kwantyfikatory
Kwantyfikatory - definicja i przykłady stosowania

Test wiedzy