Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Kwantyfikatory

Kwantyfikatory to symbole używane w logice matematycznej. Kwantyfikator służy do formułowania zdań "dla każdego ...", "każdy ...", "istnieje ...", "dla pewnego...".

Kwantyfikator ogólny (duży, uniwersalny) to kwantyfikator "dla każdego", "każdy".

Kwantyfikator szczegółowy (mały, egzystencjalny) to kwantyfikator "istnieje".

Zmienna związana jest to zmienna występująca pod kwantyfikatorem. Zakres jej zmienności to zasięg.

Kwantyfikatory są to zwroty w postaci:

dla każdego x ... i oznaczamy przez dla każdego lub ,
istnieje takie x, że ... i oznaczamy przez istniejelub .

Przykład Przykład


Zdanie: istnieje (x+1=0) czytamy: istnieje takie x, że x+1=0

Zdanie: dla każdego [(x+1)2 = x2+2x+1] czytamy:

dla każdego x spełniona jest równość (x+1)2 = x2+2x+1.

Powyższe kwantyfikatory z przykładu można także zapisać w następujący sposób:

∃x (x+1=0)

∀x [(x+1)2 = x2+2x+1]

Przy użyciu kwantyfikatorów i spójników zdań logicznych tworzy się nowe funkcje zdaniowe.

Prawa de Morgana dla zdań z kwantyfikatorami

~ istniejep(x) wtedy i tylko wtedy dla każdego~p(x)

~ dla każdegop(x) wtedy i tylko wtedy istnieje~p(x)

Przykład Przykład

Wykorzystamy powyższe przy udowodnieniu, że zdanie dla każdego(x-1=0) jest fałszywe. Wystarczy udowodnić, że zaprzeczenie tego zdania, czyli ~dla każdego(x-1=0), jest prawdziwe. Skorzystamy z prawa de Morgana, na podstawie którego wystarczy udowodnić prawdziwość zdania istnieje~(x-1=0), czyli istnieje(x-1 ≠ 0). Wystarczy teraz wskazać, że istnieje takie x (np. x=0), że (x-1 ≠ 0), na czym kończymy dowód.

Kwantyfikatory są bardzo często stosowane w matematyce, ale równie często pomija się je w notacji dla uproszczenia sformułowań.


© medianauka.pl, 2008-06-15, ART-51







Inne zagadnienia z tej lekcji

ImplikacjaImplikacja
Implikacja to zdanie jeżeli p, to q. Zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q następnikiem
Warunek konieczny i wystarczającyWarunek konieczny i wystarczający
Warunek konieczny i wystarczający: jeżeli ze zdania p wnika zdanie q, to p jest warunkiem wystarczającym dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla q.
Forma zdaniowaForma zdaniowa
Forma zdaniowa zmiennej x to wyrażenie, w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem logicznym, gdy w miejsce x podstawimy dowolny element zbioru D.



© Media Nauka 2008-2018 r.