Kwantyfikatory

Kwantyfikatory to symbole używane w logice matematycznej. Kwantyfikator służy do formułowania zdań "dla każdego ...", "każdy ...", "istnieje ...", "dla pewnego...".

Kwantyfikator ogólny (duży, uniwersalny) to kwantyfikator "dla każdego", "każdy".

Kwantyfikator szczegółowy (mały, egzystencjalny) to kwantyfikator "istnieje".

Zmienna związana jest to zmienna występująca pod kwantyfikatorem. Zakres jej zmienności to zasięg.

Kwantyfikatory są to zwroty w postaci:

dla każdego x ... i oznaczamy przez

lub ∀,
istnieje takie x, że ... i oznaczamy przez

lub ∃.

Przykład

Zdanie: (x+1=0) czytamy: istnieje takie x, że x+1=0

Zdanie: dla każdego [(x+1)² = x²+2x+1] czytamy:

dla każdego x spełniona jest równość (x+1)² = x²+2x+1.

Powyższe kwantyfikatory z przykładu można także zapisać w następujący sposób:

∃x (x+1=0)

∀x [(x+1)² = x²+2x+1]

Przy użyciu kwantyfikatorów i spójników zdań logicznych tworzy się nowe funkcje zdaniowe.

Prawa de Morgana dla zdań z kwantyfikatorami

p(x)

~p(x)

~ dla każdego

p(x)

~p(x)

Przykład

Wykorzystamy powyższe przy udowodnieniu, że zdanie dla każdego (x-1=0) jest fałszywe. Wystarczy udowodnić, że zaprzeczenie tego zdania, czyli ~(x-1=0), jest prawdziwe. Skorzystamy z prawa de Morgana, na podstawie którego wystarczy udowodnić prawdziwość zdania ~(x-1=0), czyli (x-1 ≠ 0). Wystarczy teraz wskazać, że istnieje takie x (np. x=0), że (x-1 ≠ 0), na czym kończymy dowód.

Kwantyfikatory są bardzo często stosowane w matematyce, ale równie często pomija się je w notacji dla uproszczenia sformułowań.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Implikacja

Implikacja to zdanie jeżeli p, to q. Zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q następnikiem

Warunek konieczny i wystarczający

Warunek konieczny i wystarczający: jeżeli ze zdania p wnika zdanie q, to p jest warunkiem wystarczającym dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla q.

Forma zdaniowa

Forma zdaniowa zmiennej x to wyrażenie, w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem logicznym, gdy w miejsce x podstawimy dowolny element zbioru D.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.