Kwantyfikatory
Kwantyfikatory to symbole używane w logice matematycznej. Kwantyfikator służy do formułowania zdań "dla każdego ...", "każdy ...", "istnieje ...", "dla pewnego...".
Kwantyfikator ogólny (duży, uniwersalny) to kwantyfikator "dla każdego", "każdy".
Kwantyfikator szczegółowy (mały, egzystencjalny) to kwantyfikator "istnieje".
Zmienna związana jest to zmienna występująca pod kwantyfikatorem. Zakres jej zmienności to zasięg.
dla każdego x ... i oznaczamy przez
lub ∀, istnieje takie x, że ... i oznaczamy przez
lub ∃.
Przykład
Zdanie: (x+1=0) czytamy: istnieje takie x, że x+1=0
Zdanie: [(x+1)2 = x2+2x+1] czytamy:
dla każdego x spełniona jest równość (x+1)2 = x2+2x+1.
Powyższe kwantyfikatory z przykładu można także zapisać w następujący sposób:
∃x (x+1=0)
∀x [(x+1)2 = x2+2x+1]
Przy użyciu kwantyfikatorów i spójników zdań logicznych tworzy się nowe funkcje zdaniowe.
Prawa de Morgana dla zdań z kwantyfikatorami
p(x) 
~p(x)~
p(x) ~p(x) Przykład
Wykorzystamy powyższe przy udowodnieniu, że zdanie (x-1=0) jest fałszywe. Wystarczy udowodnić, że zaprzeczenie tego zdania, czyli ~(x-1=0), jest prawdziwe. Skorzystamy z prawa de Morgana, na podstawie którego wystarczy udowodnić prawdziwość zdania ~(x-1=0), czyli (x-1 ≠ 0). Wystarczy teraz wskazać, że istnieje takie x (np. x=0), że (x-1 ≠ 0), na czym kończymy dowód.
Kwantyfikatory są bardzo często stosowane w matematyce, ale równie często pomija się je w notacji dla uproszczenia sformułowań.
© medianauka.pl, 2008-06-15, ART-51
Inne zagadnienia z tej lekcji
ImplikacjaImplikacja to zdanie jeżeli p, to q. Zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q następnikiem
Warunek konieczny i wystarczającyWarunek konieczny i wystarczający: jeżeli ze zdania p wnika zdanie q, to p jest warunkiem wystarczającym dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla q.
Forma zdaniowaForma zdaniowa zmiennej x to wyrażenie, w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem logicznym, gdy w miejsce x podstawimy dowolny element zbioru D.
