Kwantyfikatory

Kwantyfikatory to symbole używane w logice matematycznej. Kwantyfikator służy do formułowania zdań „dla każdego ...”, „każdy ...”, „istnieje ...”, „dla pewnego...”.

Kwantyfikator ogólny

Kwantyfikator ogólny, kwantyfikator duży, kwantyfikator uniwersalny jest to zwrot „dla każdego”, „każdy”.

Oznaczamy go w następujący sposób: \(\forall\) lub \(\bigwedge\).

Kwantyfikator szczegółowy

Kwantyfikator szczegółowy, kwantyfikator mały, kwantyfikator egzystencjalny jest to zwrot „istnieje”, „istnieje takie”.

Oznaczamy go w następujący sposób: \(\exists\) lub \(\bigvee\).

Kwantyfikatory są to zwroty w postaci:

„Dla każdego x ...” i oznaczamy przez \(\underset{x}\forall\) lub \(\underset{x}\bigwedge\),
„Istnieje takie x, że ...” i oznaczamy przez \(\underset{x}\exists\) lub \(\underset{x}\bigvee\).

Zmienna związana jest to zmienna występująca pod kwantyfikatorem. Zakres jej zmienności to zasięg.

Przykład

Zdanie: \(\underset{x}\bigvee(x+1=0)\) czytamy: „istnieje takie x, że x+1 = 0”.

Zdanie: \(\underset{x}\bigwedge[(x+1)^2=x^2+2x+1]\) czytamy: „dla każdego x spełniona jest równość (x+1)² = x²+2x+1”.

Powyższe kwantyfikatory z przykładu można także zapisać w następujący sposób:

\(\underset{x}\exists(x+1=0)\),

\(\underset{x}\forall[(x+1)^2=x^2+2x+1]\).

Przy użyciu kwantyfikatorów i spójników zdań logicznych tworzy się nowe funkcje zdaniowe. Można prowadzić także rachunek kwantyfikatorów.

Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów

\(\sim \underset{x}{\exists}\ {p(x)}\Leftrightarrow \underset{x}{\forall} \sim p(x) \)

\(\sim \underset{x}{\forall}\ {p(x)}\Leftrightarrow \underset{x}{\exists} \sim p(x) \)

Prawa te kolejno możemy przeczytać w następujący sposób:

Nieprawda, że istnieje x, który spełnia warunek p(x), jest równoważne z tym, że dla każdego x warunek p(x) nie jest spełniony.
Nieprawda, że dla każdego x spełniony jest warunek p(x), jest równoważne z tym, że istnieje takie x, dla którego warunek p(x) nie jest spełniony.

Przykład

Wykorzystamy powyższe przy udowodnieniu, że zdanie \(\underset{x}{\forall}\ {(x-1=0)}\) jest fałszywe. Wystarczy udowodnić, że zaprzeczenie tego zdania, czyli \(\sim \underset{x}{\forall}\ {(x-1=0)}\), jest prawdziwe. Skorzystamy z prawa de Morgana, na podstawie którego wystarczy udowodnić prawdziwość zdania \(\underset{x}{\exists}\ \sim {(x-1=0)}\), czyli \(\underset{x}{\exists}\ {(x-1\neq 0)}\). Wystarczy teraz wskazać, że istnieje takie x (np. x = 0), że (x-1 ≠ 0), na czym kończymy dowód.

Kwantyfikatory są bardzo często stosowane w matematyce, ale równie często pomija się je w notacji dla uproszczenia sformułowań.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Zapisz za pomocą kwantyfikatorów następujące zdania logiczne:

A. Dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych oraz \(y\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych wyrażenie \((x-y)^4\) jest nieujemne.

B. Dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych istnieje \(y\) należące do zbioru liczb rzeczywistych takie, że suma \(x\) i \(y\) jest równa \(-1\).

C. Istnieje takie \(n\), należące do zbioru liczb naturalnych, że \(n\) jest podzielne przez \(13\).

D. Istnieje takie \(x\) należące do przedziału \((-10;10)\), dla którego \(x^2-1=0\).

E. Nie istnieje takie \(x\) należące do przedziału \((-1;1)\), dla którego \(x^2-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Powiązane materiały

Ćwiczenia

QUIZ