Forma zdaniowa

Formą zdaniową zmiennej x nazywamy takie wyrażenie, w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem logicznym, gdy w miejsce x podstawimy dowolny element zbioru D, zwanego dziedziną.

Formę zdaniową będziemy oznaczać symbolem p(x).

Przykład

Zdanie: x jest liczbą parzystą jest formą zdaniową jednej zmiennej x, której dziedziną może być na przykład zbiór liczb naturalnych.

Element dziedziny spełnia formę zdaniową, jeżeli podstawiony do formy zdaniowej daje zdanie prawdziwe.

Przykład

Zdanie: x jest liczbą pierwszą jest formą zdaniową jednej zmiennej x, której dziedziną może być na przykład zbiór liczb naturalnych, a takie liczby jak 2,3,5,7 spełniają formę zdaniową. Liczby 1,4,6,8,100 nie spełniają formy zdaniowej.

Warto zapamiętać, że:

Każde równanie i każda nierówność jest formą zdaniową.

Forma zdaniowa tożsamościowa to taka forma, którą spełnia każdy element dziedziny formy zdaniowej.
Forma zdaniowa sprzeczna to taka forma, której nie spełnia żaden element dziedziny formy zdaniowej.

Przykład

Równanie x+1=x+2-1 jest tożsamościowe w dziedzinie liczb rzeczywistych, bo każda liczba rzeczywista spełnia to równanie
Nierówność x²<0 jest sprzeczna w dziedzinie liczb rzeczywistych, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu daje liczbę mniejszą od zera).

Formy zdaniowe p(x) i q(x) o wspólnej dziedzinie nazywamy równoważnymi, jeżeli każdy element, który spełnia p(x) spełnia także q(x) i odwrotnie. Równoważność form zdaniowych p(x) i q(x) zapisujemy w następujący sposób: \(p(x)\Leftrightarrow q(x)\).

Ta sama forma zdaniowa może być tożsamościowa lub sprzeczna w zależności od wyboru dziedziny (np. \(x^2=1 \ w \ \mathbb{R} \ vs \ w \ \mathbb{N}\)).