Liczby pierwsze

Liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie 2 podzielniki (jeden i samą siebie) jest to liczba pierwsza.

Liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną.

Ze względu na liczbę dzielników możemy więc wszystkie liczby naturalne podzielić na trzy rozłączne podzbiory:

Zbiór liczb pierwszych ma nieskończenie wiele elementów.

Liczby pierwsze są jakby atomami, z których przy pomocy mnożenia można zbudować pozostałe liczby (liczby złożone). Każdą liczbę złożoną można zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych. Mówimy wówczas o rozkładzie liczby na czynniki pierwsze.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze to nic innego jak przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Przykład

12 = 2x2x3
999 = 3x3x3x37
1971 = 3x3x3x73

Poniżej zamieszczamy prosty kalkulator - program sprawdzający, czy dana liczba jest liczbą pierwszą, czy złożoną i da się rozłożyć na czynniki.

Kalkulator
W tym miejscu możesz rozłożyć dowolną liczbę naturalną na czynniki pierwsze. Pamiętaj aby podać liczbę naturalną. Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Wpisz liczbę naturalną:
Rozłóż na czynniki

Wynik to:

Rodzaje liczb pierwszych

Liczby pierwsze bliźniacze to takie liczby pierwsze, które różnią się o 2. Jest to więc para liczb p i p+2, gdzie p jest liczbą pierwszą. Przykłady liczb pierwszych bliźniaczych: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 71 i 73 itp.

Liczby pierwsze czworacze to liczby: p, p+2, p+6, p+8, gdzie p jest liczbą pierwszą. Są to na przykład liczby 5,7,11,13.

Liczby palindromicznie pierwsze to liczby pierwsze, które czyta się tak samo od lewej jak i od prawej strony. Są to na przykład liczby 11, 101, 131, 191, 929, 10601.

Ciekawostki

Liczby pierwsze nazywamy bliźniaczymi jeśli różnią się o 2.
Przykłady liczb bliźniaczych: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 59 i 61, 7877 i 7879.

Szukanie liczb pierwszych może być intratnym zajęciem. Electronic Frontier Foundation ufundowała nagrodę za odkrycie kolejnej największej liczby pierwszej. Jak dotąd największa odkryta liczba pierwsza to 2^77232917-1 (2018 rok). Liczba ta w zapisie dziesiętnym ma ponad 23 miliony cyfr.

Możesz też wziąć udział w wyszukiwaniu kolejnych liczb pierwszych, przyłączając się do projektu GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) poprzez udostępnienie mocy obliczeniowej swojego komputera. Szczegóły w języku angielskim znajdziesz tutaj.

Pytania

Ile dzielników ma trzecia potęga liczby pierwszej?

Trzecia potęga dowolnej liczby pierwszej p ma 4 dzielniki:
p⁰ = 1
p¹ = p
p² = p·p
p³ = p·p·p

Na przykład 2³=8 ma dzielniki 1,2,4 i 8.

Jaka jest najmniejsza liczba pierwsza?

Najmniejszą liczbą pierwszą jest liczba 2.

Jaka jest najmniejsza nieparzysta liczba pierwsza?

Jest to liczba 3.

Jakie są dwucyfrowe liczby pierwsze?

Wszystkie liczby pierwsze dwucyfrowe to: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Czy istnieją liczby naturalne, które nie są ani pierwsze ani złożone?

Tak. Są to liczby 0 i 1.

Czy istnieje wzór na liczbę pierwszą?

Jak do tej pory nie znamy takiego wzoru. Z rozmieszczeniem liczb pierwszych na osi wiąże się jedna z największych zagadek matematyki - hipoteza Riemanna. Rozwiązanie tego problemu ma duże znaczenie dla matematyki, statystyki i fizyki. Trwają prace naukowe na całym świecie, mające na celu znalezienie wspólnego mianownika między rozmieszczeniem liczb pierwszych, a bardzo podobnymi zależnościami w świecie subatomowym. Może jest to klucz do zagadki budowy samego Wszechświata? Polecamy rewelacyjny film o naturze liczb pierwszych.

Liczby pierwsze - lista

Poniższa tabela zawiera pierwsze 999 liczb pierwszych. Poniżej kilka słów tytułem wyjaśnienia jak należy z niej korzystać.

Na czerwono zaznaczono liczbę 101. Jest to liczba pierwsza. Aby odczytać, którą z kolei jest liczbą pierwszą, liczbę dziesiątek odczytujemy z pierwszej kolumny, liczbę jedności z pierwszego rzędu. Zatem 101 jest 26 liczbą pierwszą.

Przykład

Liczba 239 jest 52 z kolei liczbą pierwszą.

Liczba 397 jest 78 z kolei liczbą pierwszą.

Tablica liczb pierwszych
Powyżej znajduje się instrukcja jak korzystać z tabeli.

Tablica ta zawiera kolejne liczby pierwsze. Pierwsze trzy rzędy tabeli zawierają liczby pierwsze do 100, szesnaście rzędów zawiera liczby pierwsze do 1000.

Ćwiczenia


Wykonaj ćwiczenia związane z tym tematem

© medianauka.pl, 2008-07-02, ART-103

Inne zagadnienia z tej lekcji

Podzielność liczb
Zasady podzielności liczb całkowitych wraz z przykładami i quizami

Rozkład liczby na czynniki pierwsze
Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze polega na jej przedstawieniu w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Największy wspólny dzielnik NWD
Największy wspólny dzielnik NWD dwóch liczb to największa spośród takich liczb, które są jednocześnie dzielnikami obu liczb.

Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW dwóch liczb jest to najmniejsza spośród takich liczb, które są jednocześnie wielokrotnościami obu liczb.

Zaokrąglanie liczb
Opis zasad zaokrąglania liczb. Głównie liczby niewymierne, ale także inne często zaokrąglamy, to znaczy odrzucamy część cyfr końcowych (lub zastępujemy zerami).

Test wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.