Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Podzielność liczb

Teoria Liczba m jest podzielna przez n, jeżeli iloraz m/n jest liczbą całkowitą.

Liczbę n nazywamy w takim przypadku dzielnikiem liczby m.

Cechy podzielności

Tablica

Tablica
Poniższa tabela zawiera cechy podzielności wybranych liczb naturalnych.


DzielnikCecha podzielnościPrzykład
1Cechy podzielności przez 1:
wszystkie liczby całkowite dzielą się przez 1
-
2Cechy podzielności przez 2:
liczba całkowita dzieli się przez 2, jeżeli ostatnią cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8
Liczba 1346 dzieli się przez 2, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 6
3Cechy podzielności przez 3:
liczba całkowita dzieli się przez 3, jeżeli suma cyfr dzieli się przez 3
Liczba 239637 dzieli się przez 3, ponieważ 2+3+9+6+3+7 = 30, a liczba 30 dzieli się bez reszty przez 3
4Cechy podzielności przez 4:
liczba całkowita dzieli się przez 4, jeżeli liczba złożona z ostatnich dwóch cyfr dzieli się przez 4 lub dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami
Liczba 2344212 dzieli się przez 4, ponieważ 12 dzieli się przez 4 i liczba 235400 dzieli się przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry są zerami
5Cechy podzielności przez 5:
liczba całkowita dzieli się przez 5, jeżeli ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
Liczba 13460 dzieli się przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 0
6Cechy podzielności przez 6:
liczba całkowita dzieli się przez 6, jeżeli dzieli się przez 2 i 3
Liczba 5412 dzieli się przez 6, ponieważ 5412 dzieli się przez 2 i 3
7 Cechy podzielności przez 7:
wiele metod na tyle skomplikowanych, że w praktyce się ich nie stosuje
Przykład metody podzielności przez 7
Jeśli suma cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi liczby 3 (zaczynając od 30=1) jest podzielna przez 7.
2289: 9⋅30+8⋅31+2⋅32+2⋅30=
=9⋅1+8⋅3+2⋅9+2⋅27=9+24+18+54=105
105: 5⋅30+0⋅31+1⋅32=5+9=14
105 i 2289 są podzielne przez 7
8Cechy podzielności przez 8:
Liczba jest podzielna przez 8, jeśli liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 8. (Można też wziąć liczbę utworzoną przez trzy ostatnie cyfry, podzielić ją przez 2 i sprawdzić podzielność przez 4)
Liczba 432016 dzieli się przez 8, ponieważ liczb złożona z cyfr 0,1,6 - czyli 16 dzieli się przez 8
9Cechy podzielności przez 9:
liczba całkowita dzieli się przez 9, jeżeli suma cyfr dzieli się przez 9
Liczba 100143 dzieli się przez 3, ponieważ 1+0+0+1+4+3 = 9, a liczba 9 dzieli się bez reszty przez 9
10Cechy podzielności przez 10:
liczba całkowita dzieli się przez 10, jeżeli ostatnia z cyfr tej liczby jest zerem
Liczba 34340 dzieli się przez 10, ponieważ 2ostatnią cyfrą tej liczby jest 0
11Cechy podzielności przez 11:
liczba całkowita dzieli się przez 11 jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych (licząc od prawej strony) i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11.
Liczba 61974 dzieli się przez 11 bo (4+9+6)-(7+1)=19-8=11, a 11 jest podzielna przez 11.
12Cechy podzielności przez 12:
liczba całkowita dzieli się przez 12 jeśli jest podzielna przez 3 i 4
Liczba 36 dzieli się przez 12 bo jest podzielna przez 3 i 4.

Quizy
quiz
Quiz: Podzielność liczb przez 2,3,4
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 15
quiz
Quiz: Podzielność liczb przez 5,6
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 10

Teoria Liczby podzielne przez 2 nazywamy liczbami parzystymi, natomiast liczby niepodzielne przez 2 nazywamy liczbami nieparzystymi

Jeżeli liczba n dzieli się bez reszty przez m, to liczbę n nazywamy wielokrotnością liczby m

Przykład Przykład

Wielokrotnościami liczby 12 są: 12,24,36,48,60, ... ponieważ są podzielne przez 12

zadanie Zadanie

Utwórz zbiór wszystkich podzielników liczby 342 z zakresu od 1 do 9.

Rozwiązanie:

Ponieważ każda liczba dzieli się przez 1, więc pierwszym elementem zbioru będzie liczba 1.
Ostatnią cyfrą liczby 342 jest 2, a więc 342 dzieli się przez 2.
Suma cyfr 3 + 4 + 2 = 9, więc liczba ta dzieli się przez 3 i 9.
Liczba 42 nie dzieli się przez 4, a więc 4 nie jest dzielnikiem liczby 342.
Liczba 342 nie dzieli się przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą nie jest 0 ani 5.
Ponieważ liczba 342 dzieli się przez 2 i 3, dzieli się także przez 6.Aby sprawdzić podzielność przez 7, należy wykonać dzielenie pisemne. Przekonujemy się w ten sposób, że 7 nie jest podzielnikiem liczby 342.
Aby sprawdzić podzielność przez 8 można podzielić 342 przez 2 i otrzymamy wówczas liczbę 171 i sprawdzić podzielność 171 przez 4.Ponieważ 71 nie dzieli się przez 4, liczba 242 nie dzieli się przez 8.

Odpowiedź: {1,2,3,6,9}


© medianauka.pl, 2008-11-09, ART-102







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Podzielność liczb

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 28, matura 2014
Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Liczby pierwszeLiczby pierwsze
Liczby pierwsze i złożóne - definicja , przykłady , ciekawostki
Rozkład liczby na czynniki pierwszeRozkład liczby na czynniki pierwsze
Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze polega na jej przedstawieniu w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Największy wspólny dzielnik NWDNajwiększy wspólny dzielnik NWD
Największy wspólny dzielnik NWD dwóch liczb to największa spośród takich liczb, które są jednocześnie dzielnikami obu liczb.
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWWNajmniejsza wspólna wielokrotność NWW
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW dwóch liczb jest to najmniejsza spośród takich liczb, które są jednocześnie wielokrotnościami obu liczb.
Zaokrąglanie liczbZaokrąglanie liczb
Opis zasad zaokrąglania liczb. Głównie liczby niewymierne, ale także inne często zaokrąglamy, to znaczy odrzucamy część cyfr końcowych (lub zastępujemy zerami).



© Media Nauka 2008-2018 r.