Zadanie maturalne nr 3, matura 2023

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru skróconego wyrażenia i przekształcimy wyrażenie:

\((2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=\)

\(=4n^2+4n=4n(n+1)\)

Mamy tutaj iloczyn liczby 4 i iloczynu kolejnych dwóch liczb naturalnych.

• Liczba 4 jest podzielna przez samą siebie (4).
• W kolejnych dwóch liczbach naturalnych jedna z nich jest zawsze parzysta, więc jest podzielna przez 2.

Mamy więc liczbę, będącą iloczynem czynników podzielnych przez 2 i 4 (czyli liczbę podzielną przez \(2\cdot 4=8\), co należało dowieść.

© medianauka.pl, 2023-07-04, ZAD-4907

Zadania podobne

Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) i dla każdej liczby całkowitej \(m\) liczba \(k^3m−km^3\) jest podzielna przez \(6\).