Zadanie maturalne nr 6, matura 2018 (poziom rozszerzony)


Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k3m − km3 jest podzielna przez 6.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana liczba jest podzielna przez 6 jeżeli jest podzielna przez 2 i 3. Przekształcimy nieco nasze wyrażenie:

\( k^3m-km^3=km(k^2-m^2)=km(k-m)(k+m) \)

Podzielność przez 2

Jeżeli obie liczby k i m lub choćby jedna z nich jest podzielna przez 2, to iloczyn \( km(k-m)(k+m) \) także jest podzielny przez 2.

(np. 2n razy dowolna liczba dzieli się przez 2).

Jeżeli zaś obie liczby nie są podzielne przez 2, czyli obie liczby są nieparzyste, to ich suma k+m jest parzyste.

Sprawdźmy to. Niech \(k=2a+1\) i \( m=2b+1\), gdzie a i b niech oznacza dowolna liczbę całkowitą. Sprawdźmy sumę:

\( k+m=2a +1 + 2b+1=2a+3b+2=2(a+b+1)\)

Zatem otrzymaliśmy iloczyn dwójki i pewnej liczby, a więc liczbę podzielną przez 2.

Ponieważ czynnik (k+m) występuje w naszym wyrażeniu będącym iloczynem, nasze wyrażenie jest podzielne przez 2.

Podzielność przez 3

Rozwiążmy to zagadnienie algebraicznie. Doprowadźmy nasze wyrażenie do iloczynu liczb, w którym przynajmniej jeden z czynników mnożenia jest liczbą podzielną przez trzy.

Przypadek 1

Liczba k lub m jest podzielna przez 3, więc iloczyn km(k-m)(k+m) jest również podzielny przez 3, gdyż przynajmniej jeden z czynników tego iloczynu jest podzielny przez 3.

Przypadek 2

Obie liczby k i m dają resztę z dzielenia przez 3 równą 2. Możemy nasze liczby zapisać w ogólnej postaci:

\( k=3a+2, m=3b+2\)

Podstawmy te liczby do naszego wyrażenia:

\( km(k-m)(k+m)=(3a+2)(3b+2)(3a+2-3b-2)(3a+2+3b+2) \)

Zajmijmy się tylko czynnikiem:

\((3a+2-3b-2)=(3a+3b)=3(a+b) \)

Otrzymaliśmy zatem liczbę podzielną przez 3

Przypadek 3

Obie liczby k i m dają resztę z dzielenia przez 3 równą 1. Możemy nasze liczby zapisać w ogólnej postaci:

\( k=3a+1, m=3b+1\)

Podstawmy te liczby do naszego wyrażenia:

\( km(k-m)(k+m)=(3a+1)(3b+1)(3a+1-3b-1)(3a+1+3b+1) \)

Zajmijmy się tylko czynnikiem:

\((3a+1-3b-1)=(3a+3b)=3(a+b) \)

Otrzymaliśmy zatem liczbę podzielną przez 3

Przypadek 4 i 5

Obie liczby k i m dają resztę z dzielenia przez 3 równą 1 lub 2. Możemy nasze liczby zapisać w ogólnej postaci:

\( k=3a+2, m=3b+1\)

lub

\( k=3a+1, m=3b+2\)

Podstawmy te liczby do naszego wyrażenia:

\( km(k-m)(k+m)=(3a+2)(3b+1)(3a+2-3b-1)(3a+2+3b+1) \)

lub

\( km(k-m)(k+m)=(3a+1)(3b+2)(3a+1-3b-2)(3a+1+3b+2) \)

Zajmijmy się tylko ostatnim czynnikiem w tym iloczynie w obu przypadkach:

\((3a+1+3b+2)=(3a+3b+3)=3(a+b+1) \)

Otrzymaliśmy zatem liczbę podzielną przez 3

ksiązki Odpowiedź

Wykazaliśmy, że wyrażenie k3m − km3 jest podzielne przez 6.


© medianauka.pl, 2023-01-12, ZAD-4639

Zadania podobne

kulkaZadanie maturalne nr 28, matura 2014
Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.

Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.