Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 28, matura 2014


Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby 3k2 przez 7 jest równa 5.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Jak zapisać zdanie, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2? Zróbmy to w następujący sposób:

\frac{k}{7}=m+\frac{R}{7}

Powyższy zapis oznacza, że jeżeli liczbę całkowitą k podzielimy przez 7, to otrzymamy jakąś liczbę całkowitą m i pewną część pozostałą z dzielenia (R/7), gdzie R oznacza resztę. Wiemy że R=2. Przekształćmy nieco powyższe równanie:

\frac{k}{7}=m+\frac{2}{7}/\cdot 7\\ k=7m+2

Równie dobrze od razu mogliśmy zapisać powyższy wzór. Zapis k=7m+2 oznacza, że liczba k jest podzielna przez 7 z resztą równą 2.

Zajmijmy się teraz wyrażeniem 3k2.

3k^2=3(7m+2)^2=3(49m^2+28m+4)=3\cdot 7\cdot 7m^2+3\cdot7\cdot 4m+12=\\=7\cdot 21m^2+7\cdot 12 m+7+5=7(21m^2+12m+1)+5=7M+5

Otrzymaliśmy postać, z której wynika, że przy podzieleniu 3k2 przez 7 (przy założeniu, że reszta z dzielenia k przez 7 daje 2) otrzymujemy zawsze resztę z dzielenia równą 5, co kończy dowód.

 


© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3451




Zadania podobne


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.