Iloraz

Czym jest iloraz i dzielenie?

Dzielenie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych.

Iloraz jest to wynik dzielenia.

Symbol dzielenia

Stosujemy różne symbole dla oznaczenia dzielenia: „:”, „/”, „÷”, a także kreskę ułamkową w ułamku zwykłym.

Dzielna i dzielnik

Dzielna jest to liczba, którą dzielimy przez drugą liczbę.

Dzielnik jest to liczba, przez którą dzielimy pierwszą liczbę. Dzielnik jest różny od zera.

dzielenie, iloraz

W działaniu \(a:b=c\) mamy \(b\neq 0\).

Oznacza to, że dzielenie przez zero jest niewykonalne.

Liczba odwrotna

Liczbę \(\frac{1}{a}\) nazywamy liczbą odwrotną do liczby \(a\).

Przykłady

Liczba	Odwrotność
2	\(\frac{1}{2}\)
1	1
0	-
\(\frac{1}{3}\)	3
0,3	\(\frac{10}{3}\)
\(10^{-1}\)	10

Własności dzielenia

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Oznacza to, że \(a\cdot \frac{1}{a} = 1\). Pamiętamy przy tym, że 1 jest elementem neutralnym iloczynu.

Dzielenie nie jest przemienne, a więc \(a:b \neq b:a\).

Dzielenie nie jest łączne, a więc \((a:b):c \neq a:(b:c)\).

Dzielenie z resztą

Dzielenie z resztą pozwala określić, ile razy dana liczba (dzielnik) mieści się w całości w innej (dzielna) oraz jaka część (czyli reszta) tej liczby nie została wydzielona.

Każda liczba całkowita \(a\) może być przedstawiona w postaci sumy iloczynu ilorazu \(q\) przez dzielnik \(d\) różny od zera oraz reszty \(r\).

\(a=q\cdot d+r\)

gdzie \(0\leq r < |d|\).

Przykłady

\(12:2= 5 \ reszta\ 2\), bo \(2\cdot 5+2=12\)

\(5:2= 1 \ reszta\ 1\), bo \(2\cdot 2+1=5\)

\(33:4= 8 \ reszta\ 1\), bo \(4\cdot 8+1=33\)

Tabliczka dzielenia

Tabliczka dzielenia do druku w postaci karty pracy z zakresu do 100 w formacie PDF znajduje się poniżej.

Pytania

Dlaczego dzielenie przez zero nie jest wykonalne?

Zauważmy najpierw, że \(a/b=c \Leftrightarrow a=b\cdot c\) (gdyż dzielenie jest działaniem odwrotnym do iloczynu).

Załóżmy, że dzielnik może być zerem, a więc \(a=0\cdot c\).

Rozpatrzy dwa przypadki:

1) Jeżeli \(a=0\), wówczas \(0=0\cdot c\) , więc \(c\) może być dowolną liczbą. Działanie nie jest jednoznaczne.

2) Jeżeli \(a\neq 0\) wówczas \(0\cdot c=a (\neq 0)\) i zauważamy, że nie istnieje taka liczba \(c\), która spełnia ten warunek.

Dzielenie przez zero nie jest zatem wykonalne.

Czy liczba odwrotna i przeciwna to jest to samo?

Nie. Liczba przeciwna do \(a\) to \(-a\), a odwrotna to \(\frac{1}{a}\).

Wykonujemy najpierw mnożenie czy dzielenie?

Jeżeli w danym wyrażeniu algebraicznym nie występują nawiasy, to kolejność wykonywania działań jest następująca:

potęgowanie i pierwiastkowanie,
mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania,
dodawanie i odejmowanie również w kolejności ich występowania.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wskaż resztę z dzielenia

A. 45:11

B. 1:2

C. 111:21

D. 78:3

E. 0:3

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznacz liczby odwrotne do podanych

A. \(1\)