Nauka » Matematyka » Iloraz

Zadanie maturalne nr 31, matura 2015 (poziom podstawowy)

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1/2. Wyznacz ten ułamek.

Rozwiązanie zadania

Niech $\frac{a}{b}$ oznacza dodatni ułamek nieskracalny. Rozpatrujemy pierwszy warunek zadania: jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7:

$\frac{a+\frac{1}{2}a}{b+\frac{1}{2}a}=\frac{4}{7}\\ \frac{\frac{3}{2}a\cdot 2}{(b+\frac{1}{2}a)\cdot 2}=\frac{4}{7}\\\frac{3a}{2b+a}=\frac{4}{7}\\4(2b+a)=3\cdot 7a\\8b+4a=21a\\17a=8b/:17\\a=\frac{8}{17}b$

Korzystamy z drugiego warunku zadania: jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1/2.

$\frac{a+1}{b+1}=\frac{1}{2}\\ 2(a+b)=b+1\\2a+2=b+1\\b=2a+1\\b=\frac{16}{17}b+1\\\frac{1}{17}b=1/\cdot 17\\b=17\\a=17\cdot \frac{8}{17}=8$

Odpowiedź

Szukany ułamek to 8/17. Jest dodatni i nieskracalny.

Zadania podobne

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.