Funkcja parzysta i funkcja nieparzysta

Zajmiemy się w tym artykule własnością parzystości i nieparzystości dowolnej funkcji.

Funkcja parzysta

Definicja

Funkcję f nazywamy parzystą gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny tej funkcji liczba do niej przeciwna również należy do dziedziny tej funkcji i .

Przykład

Funkcjami parzystymi są:

$f(x)=\cos{x}, \quad bo \quad \cos x=\cos{(-x)}\\ f(x)=x^2, \quad bo \quad x^2=(-x)^2\\ f(x)=x^4, \quad bo \quad x^4=(-x)^4\\ f(x)=\frac{1}{x^2}, \quad bo \quad \frac{1}{x^2}=\frac{1}{(-x)^2}$

Dla funkcji parzystej wykres przyjmuje charakterystyczną postać, a mianowicie jest on symetryczny względem osi OY (jest odbiciem lustrzanym względem tej osi).

Funkcja nieparzysta

Definicja

Funkcję f nazywamy nieparzystą gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny tej funkcji liczba do niej przeciwna również należy do dziedziny tej funkcji i .

Przykład

Funkcjami nieparzystymi są:

$f(x)=\sin{x}, \quad bo \quad \sin (-x)=-\sin{x}\\ f(x)=x^3, \quad bo \quad (-x)^3=-x^3\\ f(x)=\frac{1}{x^5}, \quad bo \quad \frac{1}{(-x)^5}=-\frac{1}{x^5}$

Dla funkcji nieparzystej wykres przyjmuje charakterystyczną postać, a mianowicie jest on symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Przykład

Rozpatrzmy funkcję .

Sprawdźmy, czy jest to funkcja parzysta, czy nieparzysta. W tym celu sprawdzamy jak się zachowuje funkcja dla argumentu równego -x.

1) Sprawdzamy, czy dana funkcja jest parzysta.
$f(-x)=2(-x)+1=-2x+1 \neq f(x)$ , a więc nie jest to funkcja parzysta.
2) Sprawdzamy, czy nasza funkcja jest nieparzysta.
Znamy już wartość , wystarczy obliczyć $-f(x)=-(2x+1)=-2x-1 \neq f(-x)$ . Zatem nasza funkcja nie jest też nieparzysta.