Funkcja parzysta i funkcja nieparzysta

Zajmiemy się w tym artykule własnością parzystości i nieparzystości dowolnej funkcji.

Funkcja parzysta

Definicja Definicja

Funkcję f nazywamy parzystą gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny tej funkcji liczba do niej przeciwna również należy do dziedziny tej funkcji i f(-x)=f(x).

Przykład Przykład

Funkcjami parzystymi są:

f(x)=\cos{x}, \quad bo \quad \cos x=\cos{(-x)}\\ f(x)=x^2, \quad bo \quad x^2=(-x)^2\\ f(x)=x^4, \quad bo \quad x^4=(-x)^4\\ f(x)=\frac{1}{x^2}, \quad bo \quad \frac{1}{x^2}=\frac{1}{(-x)^2}

Teoria Dla funkcji parzystej wykres przyjmuje charakterystyczną postać, a mianowicie jest on symetryczny względem osi OY (jest odbiciem lustrzanym względem tej osi).

funkcja parzysta

Funkcja nieparzysta

Definicja Definicja

Funkcję f nazywamy nieparzystą gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny tej funkcji liczba do niej przeciwna również należy do dziedziny tej funkcji i f(-x)=-f(x).

Przykład Przykład

Funkcjami nieparzystymi są:

f(x)=\sin{x}, \quad bo \quad \sin (-x)=-\sin{x}\\ f(x)=x^3, \quad bo \quad (-x)^3=-x^3\\ f(x)=\frac{1}{x^5}, \quad bo \quad \frac{1}{(-x)^5}=-\frac{1}{x^5}

Teoria Dla funkcji nieparzystej wykres przyjmuje charakterystyczną postać, a mianowicie jest on symetryczny względem początku układu współrzędnych.

funkcja nieparzysta

Przykład Przykład

Rozpatrzmy funkcję f(x)=2x+1.

Sprawdźmy, czy jest to funkcja parzysta, czy nieparzysta. W tym celu sprawdzamy jak się zachowuje funkcja dla argumentu równego -x.

1) Sprawdzamy, czy dana funkcja jest parzysta.
f(-x)=2(-x)+1=-2x+1 \neq f(x), a więc nie jest to funkcja parzysta.
2) Sprawdzamy, czy nasza funkcja jest nieparzysta.
Znamy już wartość f(-x), wystarczy obliczyć -f(x)=-(2x+1)=-2x-1 \neq f(-x). Zatem nasza funkcja nie jest też nieparzysta.

Teoria Jak wynika z prostego przykładu, który został zaprezentowany wyżej istnieją funkcje, które nie są ani parzyste ani nieparzyste.



© medianauka.pl, 2009-05-11, ART-204


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Funkcja parzysta i nieparzysta

zadanie-ikonka Zadanie - parzystość funkcji
Sprawdzić,czy funkcja
a) f(x)=2x^2-5
b) f(x)=x^2-5x+4
jest parzysta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - funkcja nieparzysta
Sprawdzić,czy funkcja
a) f(x)=\frac{x-5}{4}
b) f(x)=-5x^3
jest nieparzysta.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Miejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji
Miejsce zerowe funkcji jest to taka wartość argumentu, dla której wartość funkcji jest równa zeru.
Monotoniczność funkcjiMonotoniczność funkcji
Omówienie na przykładach pojęć takich jak: monotoniczność funkcji, funkcja rosnąca, malejąca, stała i inne
Funkcja okresowaFunkcja okresowa
Funkcja jest okresowa, gdy spełniony jest warunek f(x)=f(x+T) i ...
Ekstremum funkcjiEkstremum funkcji
Ekstremum funkcji nazywamy minimum funkcji lub maksimum funkcji.
Funkcja różnowartościowaFunkcja różnowartościowa
Co to jest funkcja różnowartościowa?



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.