Wyznaczanie dziedziny funkcji

Dziedzina jest zbiorem argumentów funkcji. Jeśli dziedzina nie jest jawnie zapisana przy określeniu funkcji (a tak zazwyczaj jest) przyjmujemy, że jest nią zbiór wszystkich liczb, dla których spełniona jest prawa strona równości . Dziedzinę oznaczamy symbolem $D_{f}$ Na czym polega wyznaczanie dziedziny funkcji? Prześledzimy to na przykładach.

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji: $x \rightarrow y=\frac{x}{x+5}$

Mianownik wyrażenia po prawej stronie równości musi być różny od zera, a więc $x+5 \neq 0$ , zatem $x \neq -5$
Odpowiedź: $D_{f}=R \backslash \lbrace -5 \rbrace$

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji: $f(x)=\sqrt{-x+1}$

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe 0, a więc:
$\qquad -x+1 \geq 0\\ \qquad \qquad \qquad -x \geq -1\\ \qquad \qquad \qquad \qquad x \leq 1$

Odpowiedź: $D_{f}=(- \infty; 1>$
(wynik zapisaliśmy za pomocą przedziału liczbowego).

Zadanie

Wyznaczyć dziedzinę funkcji: $f(x)=\sqrt{\frac{1}{x^2-1}}$

Po pierwsze całe wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być liczbą ujemną, a wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.
Pierwszy warunek:
$\frac{1}{x^2-1} \geq 0$
Ponieważ licznik jest dodatni, to aby cały ułamek był nieujemny, mianownik również musi być nieujemny.
$x^2-1 \geq 0$
Stosujemy wzór skróconego mnożenia i otrzymujemy:
$(x-1)(x+1) \geq 0$
Iloczyn dwóch liczb jest nieujemny, jeżeli oba czynniki są dodatnie lub oba są ujemne. Otrzymujemy zatem układy równań:
$\begin{cases} x+1 \geq 0\\ x-1 \geq 0 \end{cases} \qquad lub \qquad \begin{cases} x+1 \leq 0\\x-1 \leq 0 \end{cases}$
Zatem:
$\begin{cases} x \geq -1\\ x \geq 1 \end{cases} \qquad lub \qquad \begin{cases} x \leq -1\\x \leq 1 \end{cases}$
Mamy zatem rozwiązanie:
$x \geq 1 \qquad lub \qquad x \leq -1$
Możemy to zapisać za pomocą przedziału liczbowego: $(- \infty; -1> \cup <1; \infty)$ .
Nie jest to jeszcze jednak dziedzina naszej funkcji, gdyż mamy jeszcze do zbadania drugi warunek, mianowicie - mianownik ułamka musi być różny od zera, a więc $x^2-1 \neq 0$ , czyli $x^2 \neq 1, \qquad x \neq 1 \vee x\neq -1$ .
Musimy więc uwzględnić ten wynik i otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

Odpowiedź: $D_{f}=(- \infty; -1) \cup (1; \infty)$