Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to jedne z najważniejszych i najczęściej wykorzystywanych wzorów w matematyce. Oto one:

Wzór na kwadrat sumy

Wzór na kwadrat różnicy

Różnica kwadratów

Wzór na sześcian sumy

Wzór na sześcian różnicy

Różnica sześcianów

Suma sześcianów

Nauka wzorów skróconego mnożenia
Narzędzia

Naucz się wzorów skróconego mnożenia z darmową aplikacją on-line. Na zadawane pytania wystarczy odpowiedzieć: "Wiem" lub "Nie wiem".

Szczególnie trzy pierwsze wzory są istotne, a ich umiejętność stosowania jest niezbędna. Oto kilka przykładów ich stosowania.

Przykład

$(5+x)^2=5^2+2\cdot 5\cdot x+x^2=25+10x+x^2 \\ (-3+a)^2=(a-3)^2=a^2-2\cdot 3\cdot a+3^2=a^2-6a+9 \\ x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)$

Uczniowie często popełniają proste błędy w stosowaniu wzorów skróconego mnożenia. Aby ich uniknąć proponuję zapoznać się z poniższą animacją i zapamiętać, że a i b we wzorach skróconego mnożenia oznaczają odpowiednio pierwszy i drugi wyraz we wzorze.

Animacja

Na koniec przykłady zastosowania pozostałych wzorów skróconego mnożenia:

Przykład

$(1+a)^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot a+3\cdot 1\cdot a^2+a^3=1+3a+3a^2+a^3\\ (2-x)^3=2^3-3\cdot 2^2\cdot x+3\cdot 2\cdot x^2+x^3=8-12x+6x^2-x^3$
$2^3-y^3=(2-y)(4+2y+y^2)\\ 3^3+x^3=(3+x)(9-3x+x^2)$

Pytania

Kiedy stosujemy wzory skróconego mnożenia?

To wzory, które wyjątkowo często stosujemy w przypadkach rozkładu sum algebraicznych na czynniki, a także gdy pozbywamy się niewymierności z mianownika. Oba zastosowania są bardziej szczegółowo opisane w artykule Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia. Dość często spotykamy się ze wzorami skróconego mnożenia przy rozwiązywaniu równań algebraicznych, a także w geometrii analitycznej. To jedne z najczęściej wykorzystywanych wzorów w matematyce.

Czy istnieją wzory skróconego mnożenia na potęgę sumy 4, 5 i 6 stopnia?

Tak. Istnieje zależność, która pozwala w łatwy sposób wyznaczyć wzór na dowolną potęgę sumy. Jest to tak zwany wzór dwumianowy Newtona. Zapamiętanie wzorów ułatwia trójkąt Pascala.

Czy istnieje wzór skróconego mnożenia na kwadrat wielu składników sumy?

Można taki wzór wyprowadzić. Ale po co? Wystarczy metoda podstawiania i kilkukrotne skorzystanie ze wzoru na kwadrat sumy. Zobaczmy poniższy przykład:

(a+b+c)²= [(a+b)+c]² = (a+b)²+2(a+b)c+c² = a²+2ab+b²+2ac+2bc+c² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

To samo dotyczy pozostałych wzorów.

Jak nauczyć się wzorów skróconego mnożenia? Jak je zapamiętać?

Nie ma wyjścia. Trzeba się ich nauczyć na pamięć i to w taki sposób, żeby móc je wyrecytować o dowolnej porze dnia i nocy. Aby to ułatwić, przygotowaliśmy prostą aplikację do zapamiętania tych wzorów. Znajdziesz ją na początku artykułu.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć
a)

b) $(\sqrt{2}-\sqrt{6})^2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć:

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz:
a)

b) $(a-\frac{1}{2})^2$
c) $(\sqrt{2}-2+\sqrt{3})^2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz:
a) $(1-\frac{\sqrt{2}}{2})(1+\frac{\sqrt{2}}{2})$
b) $(1+\sqrt{2})^3$
c) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^3$
d) $(5xy-\sqrt{2}x)^2$
e) $(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Równość $(2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}$ jest prawdziwa dla:

A. a=3
B. a=1
C. a=-2
D. a=-3

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

W rozwinięciu wyrażenia $(2\sqrt{3}x+4y)^3$ współczynnik przy iloczynie

jest równy

A. $32\sqrt{3}$
B. 48
C. $96\sqrt{3}$
D. 144

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Równość $\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}$ zachodzi dla:

A. m=5
B. m=4
C. m=1
D. m=-5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba $(3-2\sqrt{3})^3$ jest równa:

A. 27-24 $\sqrt{3}$
B. 27-30 $\sqrt{3}$
C. 135-78 $\sqrt{3}$
D. 135-30 $\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równanie x(x² - 4)(x² + 4) = 0 z niewiadomą x
A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia: pozbywanie się niewymierności z mianownika, rozkładanie sum algebraicznych na czynniki

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.