Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to jedne z najważniejszych i najczęściej wykorzystywanych wzorów w matematyce. Oto one:

Wzory skróconego mnożenia stopnia 2.

	Wzór
wzór na kwadrat sumy	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
wzór na kwadrat różnicy	$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
różnica kwadratów	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Wzory skróconego mnożenia stopnia 3.

	Wzór
wzór na sześcian sumy	$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
wzór na sześcian różnicy	$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
różnica sześcianów	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
suma sześcianów	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Szczególnie trzy pierwsze wzory są niezwykle istotne, a ich umiejętność stosowania jest niezbędna w dalszym kursie matematyki niemalże na każdym kroku.

Oto kilka przykładów ich stosowania.

Przykłady

$(5+x)^2=5^2+2\cdot 5\cdot x+x^2=25+10x+x^2$
$ (-3+a)^2=(a-3)^2=a^2-2\cdot 3\cdot a+3^2=a^2-6a+9$
$ x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)$

Uczniowie często popełniają proste błędy w stosowaniu wzorów skróconego mnożenia. Aby ich uniknąć, warto zapoznać się z poniższą animacją i zapamiętać, że $a$ i $b$ we wzorach skróconego mnożenia oznaczają odpowiednio pierwszy i drugi wyraz we wzorze.

Animacja

A oto przykłady zastosowania pozostałych wzorów skróconego mnożenia:

Przykłady

$(1+a)^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot a+3\cdot 1\cdot a^2+a^3=1+3a+3a^2+a^3$
$ (2-x)^3=2^3-3\cdot 2^2\cdot x+3\cdot 2\cdot x^2+x^3=8-12x+6x^2-x^3$
$2^3-y^3=(2-y)(4+2y+y^2)$
$3^3+x^3=(3+x)(9-3x+x^2)$

Nauka wzorów skróconego mnożenia

Oto proste narzędzie, które ułatwi naukę wzorów skróconego mnożenia na pamięć.

Nauka wzorów skróconego mnożenia

Naucz się wzorów skróconego mnożenia z darmową aplikacją online.

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia stosujemy w matematyce wyjątkowo często. Oto niektóre przykłady wykorzystania:

Rozkładanie sum algebraicznych na czynniki

Rozłożenie sumy algebraicznej na czynniki to nic innego jak przedstawienie jej w postaci iloczynu co najmniej dwóch czynników. Aby to osiągnąć na ogół:

grupujemy wyrazy,
wyłączamy wspólny czynnik przed nawias,
stosujemy wzory skróconego mnożenia.

Przykłady

$2a^2+4ab+2b^2=2(a^2+2ab+b^2)=2(a+b)^2$
$x^3+2x^2y+xy^2=x(x^2+2xy+y^2)=x(x+y)^2$
$ x^2+2xy+y^2-1=(x+y)^2-1 = (x+y+1)(x+y-1)$ — w tym przykładzie dwa razy zastosowano wzory skróconego mnożenia — pierwszy raz na kwadrat sumy, a drugi raz na różnicę kwadratów (ponieważ $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, gdzie $a=x+y$ i $b=1$).
$mn-np+m^2-mp=(mn-np)+(m^2-mp)=n(m-p)+m(m-p)=(m-p)(m+n)$ — w tym przykładzie zastosowano grupowanie wyrazów i wyciągnięto przed nawias wspólny czynnik, którym jest tutaj wyrażenie $(m-p)$.
$8p^3-3p=8p(p^2-\frac{3}{8})=8p(p-\sqrt{\frac{3}{8}})(p+\sqrt{\frac{3}{8}})$

Pozbywanie się niewymierności z mianownika

Jeżeli w mianowniku ułamka pojawia się jako składnik sumy pierwiastek, korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. Oto przykład:

Przykłady

$\frac{2}{2+\sqrt{7}}=\frac{2\cdot(2-\sqrt{7})}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}=\frac{4-2\sqrt{7}}{4-7}=-\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$

Pytania

Kiedy stosujemy wzory skróconego mnożenia?

To wzory, które wyjątkowo często stosujemy w przypadkach rozkładu sum algebraicznych na czynniki, a także wtedy, gdy pozbywamy się niewymierności z mianownika. Dość często spotykamy się ze wzorami skróconego mnożenia przy rozwiązywaniu równań algebraicznych, a także w geometrii analitycznej. To jedne z najczęściej wykorzystywanych wzorów w matematyce.

Czy istnieją wzory skróconego mnożenia na potęgę sumy 4, 5 i 6 stopnia?

Tak. Istnieje zależność, która pozwala w łatwy sposób wyznaczyć wzór na dowolną potęgę sumy. Jest to tak zwany wzór dwumianowy Newtona. Zapamiętanie wzorów ułatwia trójkąt Pascala (link znajdziesz na końcu artykułu).

Czy istnieje wzór skróconego mnożenia na kwadrat wielu składników sumy?

Można taki wzór wyprowadzić. Nie ma jednak takiej potrzeby. Wystarczy metoda podstawiania i kilkukrotne skorzystanie ze wzoru na kwadrat sumy. Zobaczmy poniższy przykład:

$(a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2=$

$= (a+b)^2+2(a+b)c+c^2=$

$=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=$

$ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $

To samo dotyczy pozostałych wzorów.

Jak nauczyć się wzorów skróconego mnożenia? Jak je zapamiętać?

Nie ma wyjścia. Trzeba się ich nauczyć na pamięć i to w taki sposób, żeby móc je wyrecytować o dowolnej porze dnia i nocy. Aby to ułatwić, przygotowaliśmy prostą aplikację do zapamiętania tych wzorów.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Równość $\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}$ zachodzi dla:

A. $m=5$

B. $m=4$

C. $m=1$

D. $m=-5$

	Wzór
wzór na kwadrat sumy	\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
wzór na kwadrat różnicy	\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
różnica kwadratów	\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

	Wzór
wzór na sześcian sumy	\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
wzór na sześcian różnicy	\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
różnica sześcianów	\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
suma sześcianów	\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

Wzory skróconego mnożenia