Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to jedne z najważniejszych i najczęściej wykorzystywanych wzorów w matematyce. Oto one:

Kwadrat sumy:

Kwadrat różnicy:

Różnica kwadratów:

Sześcian sumy:

Sześcian różnicy:

Różnica sześcianów:

Suma sześcianów:

Szczególnie trzy pierwsze wzory są istotne, a ich umiejętność stosowania jest niezbędna. Oto kilka przykładów ich stosowania.

Przykład

$(5+x)^2=5^2+2\cdot 5\cdot x+x^2=25+10x+x^2 \\ (-3+a)^2=(a-3)^2=a^2-2\cdot 3\cdot a+3^2=a^2-6a+9 \\ x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)$

Uczniowie często popełniają proste błędy w stosowaniu wzorów skróconego mnożenia. Aby ich uniknąć proponuję zapoznać się z poniższą animacją i zapamiętać, że a i b we wzorach skróconego mnożenia oznaczają odpowiednio pierwszy i drugi wyraz we wzorze.

Animacja

Na koniec przykłady zastosowania pozostałych wzorów skróconego mnożenia:

Przykład

$(1+a)^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot a+3\cdot 1\cdot a^2+a^3=1+3a+3a^2+a^3\\ (2-x)^3=2^3-3\cdot 2^2\cdot x+3\cdot 2\cdot x^2+x^3=8-12x+6x^2-x^3$
$2^3-y^3=(2-y)(4+2y+y^2)\\ 3^3+x^3=(3+x)(9-3x+x^2)$