Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to jedne z najważniejszych i najczęściej wykorzystywanych wzorów w matematyce. Oto one:

Wzory skróconego mnożenia stopnia 2.

Wzór
wzór na kwadrat sumy \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
wzór na kwadrat różnicy \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
różnica kwadratów \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Wzory skróconego mnożenia stopnia 3.

Wzór
wzór na sześcian sumy \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
wzór na sześcian różnicy \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
różnica sześcianów \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
suma sześcianów \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

Szczególnie trzy pierwsze wzory są niezwykle istotne, a ich umiejętność stosowania jest niezbędna w dalszym kursie matematyki niemalże na każdym kroku.

Oto kilka przykładów ich stosowania.

Przykłady

  • \((5+x)^2=5^2+2\cdot 5\cdot x+x^2=25+10x+x^2\)
  • \( (-3+a)^2=(a-3)^2=a^2-2\cdot 3\cdot a+3^2=a^2-6a+9\)
  • \( x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)\)

Uczniowie często popełniają proste błędy w stosowaniu wzorów skróconego mnożenia. Aby ich uniknąć, warto zapoznać się z poniższą animacją i zapamiętać, że \(a\) i \(b\) we wzorach skróconego mnożenia oznaczają odpowiednio pierwszy i drugi wyraz we wzorze.

Animacja

Animacja
Preloader


A oto przykłady zastosowania pozostałych wzorów skróconego mnożenia:

Przykłady

  • \((1+a)^3=1^3+3\cdot 1^2\cdot a+3\cdot 1\cdot a^2+a^3=1+3a+3a^2+a^3\)
  • \( (2-x)^3=2^3-3\cdot 2^2\cdot x+3\cdot 2\cdot x^2+x^3=8-12x+6x^2-x^3\)
  • \(2^3-y^3=(2-y)(4+2y+y^2)\)
  • \(3^3+x^3=(3+x)(9-3x+x^2)\)

Nauka wzorów skróconego mnożenia

Oto proste narzędzie, które ułatwi naukę wzorów skróconego mnożenia na pamięć.

Nauka wzorów skróconego mnożenia.
Nauka wzorów skróconego mnożenia

Naucz się wzorów skróconego mnożenia z darmową aplikacją online.

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia stosujemy w matematyce wyjątkowo często. Oto niektóre przykłady wykorzystania:

Rozkładanie sum algebraicznych na czynniki

Rozłożenie sumy algebraicznej na czynniki to nic innego jak przedstawienie jej w postaci iloczynu co najmniej dwóch czynników. Aby to osiągnąć na ogół:

Przykłady

  • \(2a^2+4ab+2b^2=2(a^2+2ab+b^2)=2(a+b)^2\)
  • \(x^3+2x^2y+xy^2=x(x^2+2xy+y^2)=x(x+y)^2\)
  • \( x^2+2xy+y^2-1=(x+y)^2-1 = (x+y+1)(x+y-1)\) — w tym przykładzie dwa razy zastosowano wzory skróconego mnożenia — pierwszy raz na kwadrat sumy, a drugi raz na różnicę kwadratów (ponieważ \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), gdzie \(a=x+y\) i \(b=1\)).
  • \(mn-np+m^2-mp=(mn-np)+(m^2-mp)=n(m-p)+m(m-p)=(m-p)(m+n)\) — w tym przykładzie zastosowano grupowanie wyrazów i wyciągnięto przed nawias wspólny czynnik, którym jest tutaj wyrażenie \((m-p)\).
  • \(8p^3-3p=8p(p^2-\frac{3}{8})=8p(p-\sqrt{\frac{3}{8}})(p+\sqrt{\frac{3}{8}})\)

Pozbywanie się niewymierności z mianownika

Jeżeli w mianowniku ułamka pojawia się jako składnik sumy pierwiastek, korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. Oto przykład:

Przykłady

\(\frac{2}{2+\sqrt{7}}=\frac{2\cdot(2-\sqrt{7})}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}=\frac{4-2\sqrt{7}}{4-7}=-\frac{4-2\sqrt{7}}{3}\)

Pytania

Kiedy stosujemy wzory skróconego mnożenia?

To wzory, które wyjątkowo często stosujemy w przypadkach rozkładu sum algebraicznych na czynniki, a także wtedy, gdy pozbywamy się niewymierności z mianownika. Dość często spotykamy się ze wzorami skróconego mnożenia przy rozwiązywaniu równań algebraicznych, a także w geometrii analitycznej. To jedne z najczęściej wykorzystywanych wzorów w matematyce.

Czy istnieją wzory skróconego mnożenia na potęgę sumy 4, 5 i 6 stopnia?

Tak. Istnieje zależność, która pozwala w łatwy sposób wyznaczyć wzór na dowolną potęgę sumy. Jest to tak zwany wzór dwumianowy Newtona. Zapamiętanie wzorów ułatwia trójkąt Pascala (link znajdziesz na końcu artykułu).

Czy istnieje wzór skróconego mnożenia na kwadrat wielu składników sumy?

Można taki wzór wyprowadzić. Nie ma jednak takiej potrzeby. Wystarczy metoda podstawiania i kilkukrotne skorzystanie ze wzoru na kwadrat sumy. Zobaczmy poniższy przykład:

\((a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2=\)

\(= (a+b)^2+2(a+b)c+c^2=\)

\(=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=\)

\( a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \)

To samo dotyczy pozostałych wzorów.

Jak nauczyć się wzorów skróconego mnożenia? Jak je zapamiętać?

Nie ma wyjścia. Trzeba się ich nauczyć na pamięć i to w taki sposób, żeby móc je wyrecytować o dowolnej porze dnia i nocy. Aby to ułatwić, przygotowaliśmy prostą aplikację do zapamiętania tych wzorów.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla:

A. \(m=5\)

B. \(m=4\)

C. \(m=1\)

D. \(m=-5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(3a+3)^2\) jest równe

A. \(-24a\)

B. \(0\)

C. \(18\)

D. \(16a^2-24a\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Liczba \((2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2\) jest równa

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(26\)

D. \(14\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2+2a=4b^2+4b\). Wykaż, że \(a=2b\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Wartość wyrażenia \(x^2−6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(1+2\sqrt{3}\)

D. \(1-2\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2−2ab+3b^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \(x^2y^2+2x^2+2y^2−8xy+4 > 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\):

A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wartość wyrażenia \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}\) jest równa:

A. \(-2\)

B. \(-2\sqrt{3}\)

C. \(2\)

D. \(2\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x^4-x^2-2x+3>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Liczba \((3-2\sqrt{3})^3\) jest równa:

A. \(27-24\sqrt{3}\)

B. \(27-30\sqrt{3}\)

C. \(135-78\sqrt{3}\)

D. \(135-30\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x^2-8xy+5y^2\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13.

Obliczyć:

a) \((5xy-7)^2\)

b) \((\sqrt{2}-\sqrt{6})^2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

W rozwinięciu wyrażenia \((2\sqrt{3}x+4y)^3\) współczynnik przy iloczynie \(xy^2\) jest równy

A. \(32\sqrt{3}\)

B. \(48\)

C. \(96\sqrt{3}\)

D. \(144\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla:

A. \(a=3\)

B. \(a=1\)

C. \(a=-2\)

D. \(a=-3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16.

Pozbyć się niewymierności z mianownika

a) \(\frac{7}{1-\sqrt{7}}\)

b) \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17.

Rozłożyć na czynniki sumę \(2\sqrt{2}+a\sqrt{2}-2\sqrt{3}-a\sqrt{3}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18.

Rozłożyć na czynniki wyrażenie \(12a^2-12a+3\), korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19.

Rozłożyć na czynniki wyrażenie \(24-10a+a^2\), korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 20.

Oblicz:

a) \((1-\frac{\sqrt{2}}{2})(1+\frac{\sqrt{2}}{2})\)

b) \((1+\sqrt{2})^3\)

c) \((\sqrt{3}-\sqrt{2})^3\)

d) \((5xy-\sqrt{2}x)^2\)

e) \((1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 21.

Oblicz:

a) \((5+2x)^2\)

b) \((a-\frac{1}{2})^2\)

c) \((\sqrt{2}-2+\sqrt{3})^2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 22.

Rozłożyć na czynniki wyrażenie \(x^4-y^4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 23.

Obliczyć \((x+4-y)^2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.



Powiązane quizy

Wzory skróconego mnożenia — quiz

Liczba pytań: 10
Quiz szkolny
Średni wynik:
7 pkt / 70%
2024-03-05

Działania na potęgach — quiz

Liczba pytań: 8
Quiz szkolny
Średni wynik:
5.3 pkt / 66.25%
2024-03-04


Wybrane karty pracy

ikona - karta pracy

Wzory skróconego mnożenia — PDF do wydruku




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-03-16, A-168
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-20



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.