Potęgowanie

Co to jest potęga danej liczby? W artykule zamieszczamy definicję potęgi i przykłady potęgowania. Własności potęgowania omawiamy w kolejnym artykule.

Definicja

Potęgę o podstawie \(a\) i wykładniku naturalnym \(n\) oznaczamy przez \(a^n\) i określamy w następujący sposób:

potęga - definicja

Przykłady

\(5^1=5\)

\(5^2=5\cdot 5=25\)

\( 5^3=5\cdot 5\cdot 5=125\)

\( 5^4=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625\)

Podstawa i wykładnik potęgi

Podstawa potęgi jest to liczba, którą podnosimy do potęgi. Wykładnik potęgi jest to liczba, do której potęgi podnosimy podstawę.

Zapamiętaj, że:

Potęga o wykładniku ujemnym

Możemy rozszerzyć powyższą definicję dla wykładnika całkowitego w następujący sposób:

Dla \(a\neq 0, m \in \mathbb{C}\):

\(a^0=1\)

\( a^{-m}=\frac{1}{a^m}\)

Przykłady

\(2^0=1\)
\((-1)^0=1\)
\(133,5^0=1\)
\((\frac{3}{4})^0=1\)
\(2^{-1}=\frac{1}{2}\)
\((-3)^{-1}=-\frac{1}{3}\)
\((\frac{7}{8})^{-1}=\frac{8}{7}\)
\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)

Zero do potęgi zerowej

Przyjmujemy, że \(0^0\) jest symbolem nieoznaczonym (nie definiujemy go w matematyce).

Kwadrat i sześcian liczby

Warto zapamiętać, że drugą potęgę liczby nazywamy kwadratem liczby, natomiast trzecią potęgę liczby nazywamy jej sześcianem.

Działania na potęgach, takie jak mnożenie potęg, dzielenie potęg, potęgowanie ułamków, a także inne przydatne wzory na potęgowanie omawiamy w kolejnym artykule.

Odwrotność potęgowania

Działanie odwrotne do potęgowania to pierwiastkowanie.

Potęgowanie liczb ujemnych

Każda liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku parzystym jest liczbą dodatnią.

Przykłady

\((-1)^2=1\)
\((-1)^{2000}=1\)
\((-2)^{2}=4\)
\((-\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}\)

Każda liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystym jest liczbą ujemną.

Przykłady

\((-1)^3=-1\)
\((-1)^{2001}=-1\)
\((-2)^{3}=-4\)
\((-\frac{1}{2})^{3}=-\frac{1}{8}\)

Kalkulator

Potęgowanie — kalkulator

W tym miejscu możesz wykonać potęgowanie na liczbach.

Wpisz podstawę i wykładnik potęgi:
n ^k

Rozwiązanie:

Pytania

Jak potęgujemy ułamki?

Potęgowanie ułamków omawiamy w artykule o działaniach na potęgach.

Jak potęgujemy pierwiastki?

Potęgowanie pierwiastków omawiamy w artykule o działaniach na pierwiastkach.

Jak potęgujemy potęgi?

Potęgowanie potęgi omawiamy w artykule o działaniach na potęgach.

Jak potęgujemy logarytmy?

Potęgowanie logarytmów omawiamy w artykule o logarytmach.

Jak przebiega potęgowanie nawiasów?

Aby podnieść do kwadratu lub sześcianu wyrażenie w nawiasie, korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia. Dla wyższych potęg warto poznać wzór dwumianowy Newtona.

Jak zrealizować potęgowanie w Excelu?

Aby obliczyć potęgę, korzystamy z operatora „^”. Jeżeli w dowolnej komórce wpiszemy "=2^10", to otrzymamy dziesiątą potęgę liczby 2.

Można także skorzystać z funkcji POTĘGA. Jeżeli w komórce A1 wpiszemy liczbę 2, w komórce A2 liczbę 3, a w komórce A3 formułę "=POTĘGA(A1;A2)", to otrzymamy wynik potęgowania \(2^3=8\).

Tabela potęgowania

n	\(2^n\)	\(3^n\)	\(4^n\)	\(5^n\)
0	1	1	1	1
1	2	3	4	5
2	4	9	16	25
3	8	27	64	125
4	16	81	256	625
5	32	243	1024	3125
6	64	729	4096	15625
7	128	2187	16384	78125
8	256	6561	65536	390625
9	512	19683	262144	1953125
10	1024	59049	1048576	9765625
11	2048	177147	4194304	48828125
12	4096	531441	16777216	244140625
13	8192	1594323	67108864	1220703125
14	16384	4782969	268435456	6103515625
15	32768	14348907	1073741824	30517578125
16	65536	43046721	4294967296	152587890625
17	131072	129140163	17179869184	762939453125
18	262144	387420489	68719476736	3814697265625
19	524288	1162261467	274877906944	19073486328125
20	1048576	3486784401	1099511627776	95367431640625