Potęgowanie

Co to jest potęga danej liczby? W artykule zamieszczamy definicję potęgi i przykłady potęgowania. Własności potęgowania omawiamy w kolejnym artykule.

Definicja

Potęgę o podstawie \(a\) i wykładniku naturalnym \(n\) oznaczamy przez \(a^n\) i określamy w następujący sposób:

potęga - definicja

Przykłady

\(5^1=5\)

\(5^2=5\cdot 5=25\)

\( 5^3=5\cdot 5\cdot 5=125\)

\( 5^4=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625\)

Podstawa i wykładnik potęgi

Podstawa potęgi jest to liczba, którą podnosimy do potęgi. Wykładnik potęgi jest to liczba, do której potęgi podnosimy podstawę.

Zapamiętaj, że:

potęgowanie

Potęga o wykładniku ujemnym

Możemy rozszerzyć powyższą definicję dla wykładnika całkowitego w następujący sposób:

Dla \(a\neq 0, m \in \mathbb{C}\):

\(a^0=1\)

\( a^{-m}=\frac{1}{a^m}\)

Przykłady

  • \(2^0=1\)
  • \((-1)^0=1\)
  • \(133,5^0=1\)
  • \((\frac{3}{4})^0=1\)
  • \(2^{-1}=\frac{1}{2}\)
  • \((-3)^{-1}=-\frac{1}{3}\)
  • \((\frac{7}{8})^{-1}=\frac{8}{7}\)
  • \(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)

Zero do potęgi zerowej

Przyjmujemy, że \(0^0\) jest symbolem nieoznaczonym (nie definiujemy go w matematyce).

Kwadrat i sześcian liczby

Warto zapamiętać, że drugą potęgę liczby nazywamy kwadratem liczby, natomiast trzecią potęgę liczby nazywamy jej sześcianem.

Działania na potęgach, takie jak mnożenie potęg, dzielenie potęg, potęgowanie ułamków, a także inne przydatne wzory na potęgowanie omawiamy w kolejnym artykule.

Odwrotność potęgowania

Działanie odwrotne do potęgowania to pierwiastkowanie.

Potęgowanie liczb ujemnych

Każda liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku parzystym jest liczbą dodatnią. 

Przykłady

  • \((-1)^2=1\)
  • \((-1)^{2000}=1\)
  • \((-2)^{2}=4\)
  • \((-\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}\)

Każda liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku nieparzystym jest liczbą ujemną.

Przykłady

  • \((-1)^3=-1\)
  • \((-1)^{2001}=-1\)
  • \((-2)^{3}=-4\)
  • \((-\frac{1}{2})^{3}=-\frac{1}{8}\)

Kalkulator

Kalkulator
Potęgowanie — kalkulator

W tym miejscu możesz wykonać potęgowanie na liczbach.

Wpisz podstawę i wykładnik potęgi:
n ^k

Rozwiązanie:

 

Pytania

Jak potęgujemy ułamki?

Potęgowanie ułamków omawiamy w artykule o działaniach na potęgach.

Jak potęgujemy pierwiastki?

Potęgowanie pierwiastków omawiamy w artykule o działaniach na pierwiastkach.

Jak potęgujemy potęgi?

Potęgowanie potęgi omawiamy w artykule o działaniach na potęgach.

Jak potęgujemy logarytmy?

Potęgowanie logarytmów omawiamy w artykule o logarytmach.

Jak przebiega potęgowanie nawiasów?

Aby podnieść do kwadratu lub sześcianu wyrażenie w nawiasie, korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia. Dla wyższych potęg warto poznać wzór dwumianowy Newtona.

Jak zrealizować potęgowanie w Excelu?

Aby obliczyć potęgę, korzystamy z operatora „^”. Jeżeli w dowolnej komórce wpiszemy "=2^10", to otrzymamy dziesiątą potęgę liczby 2.

Można także skorzystać z funkcji POTĘGA. Jeżeli w komórce A1 wpiszemy liczbę 2, w komórce A2 liczbę 3, a w komórce A3 formułę "=POTĘGA(A1;A2)", to otrzymamy wynik potęgowania \(2^3=8\).

Tablica

Tabela potęgowania


n \(2^n\) \(3^n\) \(4^n\) \(5^n\)
01111
12345
2491625
382764125
41681256625
53224310243125
664729409615625
712821871638478125
8256656165536390625
9512196832621441953125
1010245904910485769765625
112048177147419430448828125
12409653144116777216244140625
1381921594323671088641220703125
141638447829692684354566103515625
153276814348907107374182430517578125
1665536430467214294967296152587890625
1713107212914016317179869184762939453125
18262144387420489687194767363814697265625
19524288116226146727487790694419073486328125
201048576
3486784401109951162777695367431640625

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Liczba \Bigl(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^0}\Bigr)^{-2} jest równa:

A. 1/125

B. 1/15

C. 1

D. 15.

Pokaż rozwiązanie zadania.



Powiązane quizy

Druga potęga

Druga potęga

Szkoła podstawowa
Klasa 4
Liczba pytań: 15

Trzecia potęga

Trzecia potęga

Szkoła podstawowa
Klasa 4
Liczba pytań: 18


Wybrane karty pracy

ikona - karta pracy

Druga potęga

ikona - karta pracy

Trzecia potęga

ikona - karta pracy

Kwadrat i sześcian liczby




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-01-16, ART-143
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-11



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.