logo

Wzór dwumianowy Newtona

Teoria Wzór dwumianowy Newtona jest to wzór w postaci:

(a+b)^n={n \\choose 0}a^n+{n \\choose 1}a^{n-1}b+{n \\choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \\choose n}b^n

Za pomocą tego wzoru możemy wyrazić każdą naturalną potęgę sumy.

Zapis {n \\choose k} oznacza symbol Newtona.

Przykład Przykład

(a+b)^4={4 \\choose 0}a^4+{4 \\choose 1}a^3b+{4 \\choose 2}a^2b^2+{4 \\choose 3}ab^3+{4 \\choose 4}b^4= \\\\ a^4+\\frac{4!}{1!3!}a^3b+\\frac{4!}{2!2!}a^2b^2+\\frac{4!}{3!1!}ab^3+b^4= \\\\ =a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

Dwumian Newtona nie jest łatwym do zapamiętania wzorem. Jednak ułatwia to tak zwany trójkąt Pascala.

Trójkąt Pascala

Teoria Współczynniki dwumianowe {n \\choose k} można znajdować na podstawie tak zwanego trójkąta Pascala

Poniższa animacja pokazuje, jak budujemy taki trójkąt i jak z niego korzystamy przy obliczaniu potęgi sumy dwóch czynników.


Poniżej przedstawiony został trójkąt Pascala do wielkości n=15.

trójkąt Pascala

Z powyższego rysunku możemy wprost odczytać odpowiednie współczynniki dwumianowe.

Weźmy dla przykładu piąty rząd dla n=5. Otrzymujemy od razu wzór na piątą potęgę sumy dwóch liczb:

(a+b)5=a5+5a4b+10a2b2+10a2b3+5ab4+b5

Szczególnym, przypadkiem dwumianu Newtona są wzory skróconego mnożenia.



© medianauka.pl, 2009-08-23, ART-304

 








Polecamy w naszym sklepie

Matematyka olimpijska. Planimetria
Kolorowe skarpetki 3D
kolorowe skarpetki góra lodowa
Matematyka konkretna
Matematyka olimpijska. Kombinatoryka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.