Wzór dwumianowy Newtona

Wzór dwumianowy Newtona jest to wzór w postaci:

$(a+b)^n={n \\choose 0}a^n+{n \\choose 1}a^{n-1}b+{n \\choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \\choose n}b^n$

Za pomocą tego wzoru możemy wyrazić każdą naturalną potęgę sumy.

Zapis ${n \\choose k}$ oznacza symbol Newtona.

Przykład

$(a+b)^4={4 \\choose 0}a^4+{4 \\choose 1}a^3b+{4 \\choose 2}a^2b^2+{4 \\choose 3}ab^3+{4 \\choose 4}b^4= \\\\ a^4+\\frac{4!}{1!3!}a^3b+\\frac{4!}{2!2!}a^2b^2+\\frac{4!}{3!1!}ab^3+b^4= \\\\ =a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Dwumian Newtona nie jest łatwym do zapamiętania wzorem. Jednak ułatwia to tak zwany trójkąt Pascala.

Trójkąt Pascala

Współczynniki dwumianowe ${n \\choose k}$ można znajdować na podstawie tak zwanego trójkąta Pascala

Poniższa animacja pokazuje, jak budujemy taki trójkąt i jak z niego korzystamy przy obliczaniu potęgi sumy dwóch czynników.

Poniżej przedstawiony został trójkąt Pascala do wielkości n=15.

Z powyższego rysunku możemy wprost odczytać odpowiednie współczynniki dwumianowe.

Weźmy dla przykładu piąty rząd dla n=5. Otrzymujemy od razu wzór na piątą potęgę sumy dwóch liczb:

(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a²b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Szczególnym, przypadkiem dwumianu Newtona są wzory skróconego mnożenia.