Wzór dwumianowy Newtona

Wzór dwumianowy Newtona jest to wzór w postaci:

$(a+b)^n={n \choose 0}a^n+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \choose n}b^n$

Za pomocą tego wzoru możemy wyrazić każdą naturalną potęgę sumy.

Zapis ${n \choose k}$ oznacza symbol Newtona

Przykład

$(a+b)^4={4 \choose 0}a^4+{4 \choose 1}a^3b+{4 \choose 2}a^2b^2+{4 \choose 3}ab^3+{4 \choose 4}b^4= \\ a^4+\frac{4!}{1!3!}a^3b+\frac{4!}{2!2!}a^2b^2+\frac{4!}{3!1!}ab^3+b^4= \\ =a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Trójkąt Pascala

Współczynniki dwumianowe ${n \choose k}$ można znajdować na podstawie tak zwanego trójkąta Pascala

Poniższa animacja pokazuje, jak budujemy taki trójkąt i jak z niego korzystamy przy obliczaniu potęgi sumy dwóch czynników.

Animacja

Poniżej przedstawiiny został trójkąt Pascala do n=15.

Wzór dwumianowy Newtona

Trójkąt Pascala

Polecamy