Nauka » Matematyka » Wzór dwumianowy Newtona

Zadanie maturalne nr 4, matura 2020 - poziom rozszerzony

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego (x√2+y√3)⁴ do postaci ax⁴ + bx³y + cx²y² + dxy³ + ey⁴ współczynnik c jest równy

A. 6

B. 36

C. 8√6

D. 12√6

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:

$(a+b)^n={n \\choose 0}a^n+{n \\choose 1}a^{n-1}b+{n \\choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n \\choose n}b^n$

Zgodnie z nim mamy:

$(a+b)^4={4 \choose 0}a^4+{4 \choose 1}a^3b+{4 \choose 2}a^2b^2+{4\choose 3}ab^3+{4\choose 4}b^4$

U nas $a=x\sqrt{2}$ oraz $b=y\sqrt{3}$ i wystarczy porównać tylko składnik:

$ {4\choose 2}a^2b^2={4\choose 2}(x\sqrt{2})^2(y\sqrt{3})^2=\frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot 2x^2\cdot 3y^2=\frac{2!\cdot 3\cdot 4}{2!\cdot 2}\cdot 6x^2y^2=36x^2y^2$

Zatem $c=36$

Odpowiedź

Odpowiedź B

Zadania podobne

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.