Symbol Newtona

Niech $n\in{R},k\in{N}$ .
Symbol Newtona, który oznaczamy ${n\choose k}$ , a czytamy "n po k" jest to liczba wyrażona wzorem

${n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot(n-k+1)}{k!}$

gdy k jest większe od 0 oraz liczbę 1, gdy k=0.

Przykład

${5\choose0}=1{}$
${5\choose5}=1$
${6\choose3}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3!}=\frac{120}{6}=20$
${-\frac{1}{2}\choose4}=\frac{(-\frac{1}{2})\cdot(-\frac{3}{2})\cdot(-\frac{5}{2})\cdot(-\frac{7}{2})}{4!}=\frac{35}{128}$

Znacznie częściej będziemy rozpatrywać przypadek, gdy n jest liczbą całkowitą nie mniejszą od k. W takim przypadku symbol Newtona przyjmuje postać

${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Przykład

${5\choose0}=\frac{5!}{0!5!}=1$
${5\choose5}=\frac{5!}{5!0!}$
${0\choose0}=\frac{0!}{0!0!}=1$
${4\choose3}=\frac{4!}{3!1!}=4$
${7\choose2}=\frac{7!}{2!5!}=\frac{5!\cdot 6 \cdot 7}{1\cdot 2 \cdot 5!}=21$

Zachodzą następujące zależności:

${n\choose 0}=1$
${n\choose n}=1$
${n\choose k}={n\choose n-k}$
${n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$

Kalkulator - Symbol Newtona dla liczb naturalnych

W tym miejscu możesz obliczyć symbol Newtona dwóch liczb. Pamiętaj aby podać liczby naturalne. Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Wpisz liczby:
n: k:

Rozwiązanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹²
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest wieksza od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć:
a) ${111\choose110}+{112\choose110}$
b) ${95\choose 90}+{95\choose 91}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć
a) ${n+1\choose n-1}$
b) ${\frac{1}{3}\choose 3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Silnia

Silnia, oznaczana symbolem wykrzyknika, jest zdefiniowana w następujący sposób ...

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.