Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - symbol Newtona


Obliczyć
a) {n+1\choose n-1}
b) {\frac{1}{3}\choose 3}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) {n+1\choose n-1}=\frac{(n+1)!}{(n-1)!(n+1-n+1)!}=\\ =\frac{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot (n+1)}{\cancel{(n-1)!}2!}=\frac{n(n+1)}{2}

b) {\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{5}{3})}{3!}=\frac{\frac{10}{27}}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{10}{27}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{81}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Dla liczby naturalnej k oraz liczby całkowitej n nie mniejszej od k mamy:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

{n+1\choose n-1}=\frac{(n+1)!}{(n-1)![n+1-(n-1)]!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n \cdot (n+1)}{(n-1)!(n+1-n+1)!}=\\ =\frac{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot (n+1)}{\cancel{(n-1)!}2!}=\frac{n(n+1)}{1\cdot 2}=\frac{n(n+1)}{2}tłotło

Podpunkt b)

Dla liczby naturalnej k oraz liczby rzeczywistej n:

{n\choose k}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ... \cdot (n-k+1)}{k!}

Wypiszemy wszystkie oznaczenia:

n=\frac{1}{3} \\ k=3 \\ n-k+1=\frac{1}{3}-3+1=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}

Mamy więc:

{\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)\cdot (\frac{1}{3}-2)}{3!}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{5}{3})}{3!}=\frac{\frac{10}{27}}{1\cdot 2\cdot 3}= \\ =\frac{10}{27}\cdot \frac{1}{6}=\frac{\cancel{10}^5}{27}\cdot \frac{1}{\cancel{6}_3}=\frac{5}{81}

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź do podpunktu a:
{n+1\choose n-1}=\frac{n(n+1)}{2}
Odpowiedź do podpunktu b:
{\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{5}{81}

© medianauka.pl, 2010-01-17, ZAD-520

Zadania podobne

kulkaZadanie - symbol Newtona, obliczenia
Obliczyć:
a) {111\choose110}+{112\choose110}
b) {95\choose 90}+{95\choose 91}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Kubek matematyka pi
kolorowe skarpetki matematyka
Rodzinna matematyka
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.