Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - symbol Newtona, obliczenia


Obliczyć:
a) {111\choose110}+{112\choose110}
b) {95\choose 90}+{95\choose 91}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) {111\choose110}+{112\choose110}=\frac{111!}{110!1!}+\frac{112!}{110!2!}=\\ =\frac{\cancel{110!}\cdot 111}{\cancel{110!}}+\frac{\cancel{110!}\cdot 111 \cdot 112}{\cancel{110!}\cdot 2}=111+111\cdot 56=6327

b) {95\choose 90}+{95\choose 91}={96\choose 91}=\frac{96!}{91!5!}=\frac{\cancel{91!}\cdot 92\cdot 93\cdot 94 \cdot 95\cdot 96}{\cancel{91!}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=61124064


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiązanie podpunktu a)

Dla liczby naturalnej k oraz liczby całkowitej n nie mniejszej od k mamy:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

{111\choose110}+{112\choose110}=\frac{111!}{110!(111-110)!}+\frac{112!}{110!(112-110)!}=\frac{111!}{110!1!}+\frac{112!}{110!2!}=\\ =\frac{\cancel{110!}\cdot 111}{\cancel{110!}}+\frac{\cancel{110!}\cdot 111 \cdot 112}{\cancel{110!}\cdot 2}=111+111\cdot 56=6327

Rozwiązanie podpunktu b)

Zachodzi własność, którą możemy wykorzystać w niniejszym zadaniu:

{n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

{95\choose 90}+{95\choose 91}={96\choose 91}

Dla liczby naturalnej k oraz liczby całkowitej n nie mniejszej od k mamy:

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

{96\choose 91}=\frac{96!}{91!(96-91)!}=\frac{96!}{91!5!}=\frac{\cancel{91!}\cdot 92\cdot 93\cdot 94 \cdot \cancel{95}^{19}\cdot \cancel{96}^4}{\cancel{91!}\cancel{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot \cancel{5}}=\\ =92\cdot 93\cdot 94 \cdot 19 \cdot 4 =61124064

ksiązki Odpowiedź

a) {111\choose110}+{112\choose110}=6327
b){95\choose 90}+{95\choose 91}=61124064

© medianauka.pl, 2010-01-17, ZAD-519


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.