Nauka » Matematyka » Symbol Newtona

Zadanie - symbol Newtona, obliczenia

Obliczyć:

a) ${111\choose110}+{112\choose110}$

b) ${95\choose 90}+{95\choose 91}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) ${111\choose110}+{112\choose110}=\frac{111!}{110!1!}+\frac{112!}{110!2!}=\\ =\frac{\cancel{110!}\cdot 111}{\cancel{110!}}+\frac{\cancel{110!}\cdot 111 \cdot 112}{\cancel{110!}\cdot 2}=111+111\cdot 56=6327$

b) ${95\choose 90}+{95\choose 91}={96\choose 91}=\frac{96!}{91!5!}=\frac{\cancel{91!}\cdot 92\cdot 93\cdot 94 \cdot 95\cdot 96}{\cancel{91!}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=61124064$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiązanie podpunktu a)

Dla liczby naturalnej k oraz liczby całkowitej n nie mniejszej od k mamy:

${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

${111\choose110}+{112\choose110}=\frac{111!}{110!(111-110)!}+\frac{112!}{110!(112-110)!}=\frac{111!}{110!1!}+\frac{112!}{110!2!}=\\ =\frac{\cancel{110!}\cdot 111}{\cancel{110!}}+\frac{\cancel{110!}\cdot 111 \cdot 112}{\cancel{110!}\cdot 2}=111+111\cdot 56=6327$

Rozwiązanie podpunktu b)

Zachodzi własność, którą możemy wykorzystać w niniejszym zadaniu:

${n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

${95\choose 90}+{95\choose 91}={96\choose 91}$

Dla liczby naturalnej k oraz liczby całkowitej n nie mniejszej od k mamy:

${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

${96\choose 91}=\frac{96!}{91!(96-91)!}=\frac{96!}{91!5!}=\frac{\cancel{91!}\cdot 92\cdot 93\cdot 94 \cdot \cancel{95}^{19}\cdot \cancel{96}^4}{\cancel{91!}\cancel{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot \cancel{5}}=\\ =92\cdot 93\cdot 94 \cdot 19 \cdot 4 =61124064$

Odpowiedź

a) ${111\choose110}+{112\choose110}=6327$
b) ${95\choose 90}+{95\choose 91}=61124064$

Zadania podobne

Zadanie - symbol Newtona

Obliczyć

a) ${n+1\choose n-1}$

b) ${\frac{1}{3}\choose 3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.