Działania na potęgach
Dla każdej pary liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) oraz liczb naturalnych \(m\) i \(n\) dodatnich prawdziwe są wzory:
- \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
- \(a^m:a^n=a^{m-n}, a\neq 0, m>n\)
- \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
- \(a^n\cdot b^n = (ab)^n\)
- \(a^n:b^n=(a:b)^n, b\neq 0\)
Uwaga! Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek \(m>n\) dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).
Przykłady
Iloczyn (mnożenie) potęg
A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
- \(5^2\cdot 5^{17}=5^{2+17}=5^{19}\)
- \((\frac{1}{8})^7\cdot (\frac{1}{8})^7=(\frac{1}{8})^{7+7}=(\frac{1}{8})^{14}\)
- \((-9)^4\cdot (-9)^9=(-9)^{4+9}=(-9)^{13}\)
- \(5^{-20}\cdot 5^{20}=5^{-20+20}=5^0=1\)
Dzielenie potęg
A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
- \(5^{17}:5^{2}=5^{17-2}=5^{15}\)
- \(5^{2}:5^{17}=5^{2-17}=5^{-15}=\frac{1}{5^{15}}\)
- \((\frac{1}{8})^7 : (\frac{1}{8})^7 = (\frac{1}{8})^{7-7}=(\frac{1}{8})^{0}=1\)
- \((-3)^7/ (-3)^4=(-3)^{7-4}=(-3)^{3}=-27\)
- \(5^{-20}: 5^{20}=5^{-20-20}=5^{-40}=\frac{1}{5^{40}}\)
Potęgowanie potęg
Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
- \((5^5)^5=5^{5\cdot 5}=5^{25}\)
- \((5^{-1})^2=5^{-1\cdot 2}=5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\)
Potęga iloczynu liczb
Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
- \(3^2\cdot 2^2=(3\cdot 2)^2=6^2=36\)
- \(5^{-2}\cdot 2^{-2}=(5\cdot 2)^{-2}=10^{-2}=\frac{1}{100}\)
- \(100^{57}\cdot 0,01^{57}=(100\cdot 0,01)^{57}=1^{57}=1\)
Potęgowanie ułamków
Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
- \(4^2:2^2=(4:2)^2=2^2=4\)
- \(2^{-2}:4^{-2}=(2:4)^{-2}=(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4\)
- \(100^{5}:0,01^{5}=(100:0,01)^{5}=10000^{5}=(10^4)^5=10^{20}\)
- \((\frac{2}{5})^2=\frac{2^2}{5^2}=\frac{4}{25}\)
Inne
Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: \(5^6 \cdot 6^5\).
Ponieważ nie mamy tutaj takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.
Zadanie
Oblicz: \(5^7+5^5\).
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale „w drugą stronę”, to znaczy:
\(5^7+5^5=5^{5+2}+5^5=5^2\cdot5^5+5^5=5^5(5^2+1) = 26\cdot 5^5\)
Potęgi liczby 10
Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że:
\(1=10^0\)
\(10=10^1\)
\(100=10^2\)
\(1000=10^3\)
\(10000=10^4\)
Uogólniając, potęga liczby \(10\) wskazuje „liczbę zer po jedynce”.
Zatem dla przykładu \(10^20\) oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli 100000000000000000000.
Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
\(0,1=10^{-1}\)
\(0,01=10^{-2}\)
\(0,001=10^{-3}\)
\(0,0001=10^{-4}\)
Uogólniając, potęga ujemna liczby \(10\) wskazuje „na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka”.
Zatem dla przykładu \(10^{-10}\) oznacza liczbę 0,0000000001.
Reasumując:
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy:
A.
B.
C.
D.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dane są liczby a = 3,6⋅10−12 oraz b = 2,4⋅10−20. Wtedy iloraz a/b jest równy:
- 8,64⋅10−32
- 1,5⋅10−8
- 1,5⋅108
- 8,64⋅1032
Zadanie nr 10 — maturalne.
Liczba naturalna n=214·515 w zapisie dziesiętnym ma
A. 14 cyfr
B. 15 cyfr
C. 16 cyfr
D. 30 cyfr
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczba 250·340/3610 jest równa:
A. 670
B. 645
C. 230·320
D. 210·320
Zadanie nr 12 — maturalne.
Liczba 1005·(0,1)-6 jest równa
A. 1013
B. 1016
C. 10-1
D. 10-30
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja f określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy
jest równa:
A.
B.
C.
D.
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2009-01-19, ART-144
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-12