Działania na potęgach

Dla każdej pary liczb rzeczywistych $a$ i $b$ oraz liczb naturalnych $m$ i $n$ dodatnich prawdziwe są wzory:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
$a^m:a^n=a^{m-n}, a\neq 0, m>n$
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
$a^n\cdot b^n = (ab)^n$
$a^n:b^n=(a:b)^n, b\neq 0$

Uwaga! Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek $m>n$ dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).

Przykłady

Iloczyn (mnożenie) potęg

A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:

$5^2\cdot 5^{17}=5^{2+17}=5^{19}$
$(\frac{1}{8})^7\cdot (\frac{1}{8})^7=(\frac{1}{8})^{7+7}=(\frac{1}{8})^{14}$
$(-9)^4\cdot (-9)^9=(-9)^{4+9}=(-9)^{13}$
$5^{-20}\cdot 5^{20}=5^{-20+20}=5^0=1$

Dzielenie potęg

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:

$5^{17}:5^{2}=5^{17-2}=5^{15}$
$5^{2}:5^{17}=5^{2-17}=5^{-15}=\frac{1}{5^{15}}$
$(\frac{1}{8})^7 : (\frac{1}{8})^7 = (\frac{1}{8})^{7-7}=(\frac{1}{8})^{0}=1$
$(-3)^7/ (-3)^4=(-3)^{7-4}=(-3)^{3}=-27$
$5^{-20}: 5^{20}=5^{-20-20}=5^{-40}=\frac{1}{5^{40}}$

Potęgowanie potęg

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:

$(5^5)^5=5^{5\cdot 5}=5^{25}$
$(5^{-1})^2=5^{-1\cdot 2}=5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$

Potęga iloczynu liczb

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:

$3^2\cdot 2^2=(3\cdot 2)^2=6^2=36$
$5^{-2}\cdot 2^{-2}=(5\cdot 2)^{-2}=10^{-2}=\frac{1}{100}$
$100^{57}\cdot 0,01^{57}=(100\cdot 0,01)^{57}=1^{57}=1$

Potęgowanie ułamków

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:

$4^2:2^2=(4:2)^2=2^2=4$
$2^{-2}:4^{-2}=(2:4)^{-2}=(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$
$100^{5}:0,01^{5}=(100:0,01)^{5}=10000^{5}=(10^4)^5=10^{20}$
$(\frac{2}{5})^2=\frac{2^2}{5^2}=\frac{4}{25}$

Inne

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: $5^6 \cdot 6^5$.

Ponieważ nie mamy tutaj takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.

Zadanie

Oblicz: $5^7+5^5$.

Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale „w drugą stronę”, to znaczy:
$5^7+5^5=5^{5+2}+5^5=5^2\cdot5^5+5^5=5^5(5^2+1) = 26\cdot 5^5$

Potęgi liczby 10

Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że:

$1=10^0$

$10=10^1$

$100=10^2$

$1000=10^3$

$10000=10^4$

Uogólniając, potęga liczby $10$ wskazuje „liczbę zer po jedynce”.

Zatem dla przykładu $10^20$ oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli 100000000000000000000.

Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że

$0,1=10^{-1}$

$0,01=10^{-2}$

$0,001=10^{-3}$

$0,0001=10^{-4}$

Uogólniając, potęga ujemna liczby $10$ wskazuje „na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka”.

Zatem dla przykładu $10^{-10}$ oznacza liczbę 0,0000000001.

Reasumując:
Jak wyrazić liczbę za pomocą potęgi?

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.