Działania na potęgach

Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:

1) a^m∙aⁿ = a^m+n
2) a^m:aⁿ = a^m-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (a^m)ⁿ = a^m∙n
4) aⁿ∙bⁿ = (ab)ⁿ
5) aⁿ:bⁿ = (a:b)ⁿ, dla b ≠ 0

Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).

Przykłady

Iloczyn (mnożenie) potęg:

A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
5²∙5¹⁷ = 5²⁺¹⁷ = 5¹⁹
(⅛)⁷∙(⅛)⁷ = (⅛)⁷⁺⁷ = (⅛)¹⁴
(-9) ⁴∙(-9) ⁹ = (-9) ⁴⁺⁹ = (-9) ¹³
5^-20∙5²⁰ = 5 ^-20+20 = 5⁰ = 1

Dzielenie potęg:

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
5¹⁷:5² = 5^17-2 = 5¹⁵
5²:5¹⁷ = 5^2-17 = 5^-15 = 1/(5¹⁵)
(⅛)⁷:(⅛)⁷ = (⅛)^7-7 = (⅛)⁰ = 1
(-3)⁷ / (-3)⁴ = (-3)^7-4 = (-3)³ = -27
5^-20 : 5²⁰ = 5^-20-20 = 5^-40=1/5⁴⁰

Potęgowanie potęg:

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(5⁵)⁵ = 5^5∙5 = 5²⁵
(5^-1)² = 5^-1∙2 = 5^-2 = 1/25

Potęga iloczynu liczb:

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
3²∙2² = (3∙2)² = 36
5^-2∙2^-2 = (5∙2)^-2 = 1/100 = 0.01
100⁵⁷∙0.01⁵⁷ = (100∙0.01)⁵⁷ = 1⁵⁷ = 1

Potęgowanie ułamków:

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
4²:2² = (4:2)² = 2² = 4
2^-2:4^-2 = (2:4)^-2 = (1/2)^-2 = 2² = 4
100⁵ : 0.01⁵ = (100:0.01)⁵ = 10000⁵ = (10⁴)⁵ = 10²⁰
(2/5)² = 2²/5²= 4/25

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: 5 ⁶ ∙ 6 ⁵.
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.

Zadanie

Oblicz: 5⁷ + 5⁵
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
5⁷+5⁵ = 5⁵⁺²+5⁵ = 5²∙5 ⁵+5⁵ = 5⁵(5 ²+1) = 26∙5⁵

Potęgi liczby 10

Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 10⁰
10 = 10¹
100 = 10²
1000 = 10³
10000 = 10⁴
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 10²⁰ oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000

Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10^-1
0.01 = 10^-2
0.001 = 10^-3
0.0001 = 10^-4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10^-10 oznacza liczbę - 0.0000000001

Reasumując:
Jak wyrazić liczbę za pomocą potęgi?

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Działania na potęgach

Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
$3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
$[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2016 (poziom podstawowy)
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz $\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}$ jest równy:

A. $a^{-3,9}$
B. $a^{-2}$
C. $a^{-1,3}$
D. $a^{1,3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2017
Liczba jest równa

A.
B.
C.
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)
Funkcja f określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa:

A.
B.
C.
D.