Logo Media Nauka

Facebook

Działania na potęgach

Teoria Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:

1) am∙an = am+n
2) am:an = am-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (am)n = am∙n
4) an∙bn = (ab)n
5) an:bn = (a:b)n, dla b ≠ 0

Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).

Przykłady

Iloczyn (mnożenie) potęg:

A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
52∙517 = 52+17 = 519
(⅛)7∙(⅛)7 = (⅛)7+7 = (⅛)14
(-9) 4∙(-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13
5-20∙520 = 5 -20+20 = 50 = 1

Dzielenie potęg:

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
517:52 = 517-2 = 515
52:517 = 52-17 = 5-15 = 1/(515)
(⅛)7:(⅛)7 = (⅛)7-7 = (⅛)0 = 1
(-3)7 / (-3)4 = (-3)7-4 = (-3)3 = -27
5-20 : 520 = 5-20-20 = 5-40=1/540

Potęgowanie potęg:

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(55)5 = 55∙5 = 525
(5-1)2 = 5-1∙2 = 5-2 = 1/25

Potęga iloczynu liczb:

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
32∙22 = (3∙2)2 = 36
5-2∙2-2 = (5∙2)-2 = 1/100 = 0.01
10057∙0.0157 = (100∙0.01)57 = 157 = 1

Potęgowanie ułamków:

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
42:22 = (4:2)2 = 22 = 4
2-2:4-2 = (2:4)-2 = (1/2)-2 = 22 = 4
1005 : 0.015 = (100:0.01)5 = 100005 = (104)5 = 1020
(2/5)2 = 22/52 = 4/25

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: 5 6 ∙ 6 5.
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.

zadanie Zadanie

Oblicz: 57 + 55
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
57+55 = 55+2+55 = 52∙5 5+55 = 55(5 2+1) = 26∙55

Potęgi liczby 10

Teoria Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 100
10 = 101
100 = 102
1000 = 103
10000 = 104
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 1020 oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000


TeoriaWarto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10-1
0.01 = 10-2
0.001 = 10-3
0.0001 = 10-4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10-10 oznacza liczbę - 0.0000000001

Reasumując:
Jak wyrazić liczbę za pomocą potęgi?


© medianauka.pl, 2009-01-19, ART-144


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Działania na potęgach

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 1, matura 2016 (poziom podstawowy)
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz \frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}} jest równy:

A. a^{-3,9}
B. a^{-2}
C. a^{-1,3}
D. a^{1,3}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 1, matura 2017
Liczba 5^8*16^(-2) jest równa

A. (5/2)^8
B. (5/2)^8
C. (5/2)^8
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1} dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(-\sqrt[3]{3}) jest równa:

A. wzór
B. wzór
C. wzór
D. wzór

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

PotęgowaniePotęgowanie
Definicja potęgi o wykładniku naturalnym.
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.







Polecamy w naszym sklepie

Rodzinna matematyka
laboratorium w szufladzie Matematyka
kolorowe skarpetki matematyka
Kubek matematyka pi
kolorowe skarpetki góra lodowa
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.