Działania na potęgach

Dla każdej pary liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) oraz liczb naturalnych \(m\) i \(n\) dodatnich prawdziwe są wzory:

  1. \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
  2. \(a^m:a^n=a^{m-n}, a\neq 0, m>n\)
  3. \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
  4. \(a^n\cdot b^n = (ab)^n\)
  5. \(a^n:b^n=(a:b)^n, b\neq 0\)

Uwaga! Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek \(m>n\) dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).

Przykłady

Iloczyn (mnożenie) potęg

A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:

  • \(5^2\cdot 5^{17}=5^{2+17}=5^{19}\)
  • \((\frac{1}{8})^7\cdot (\frac{1}{8})^7=(\frac{1}{8})^{7+7}=(\frac{1}{8})^{14}\)
  • \((-9)^4\cdot (-9)^9=(-9)^{4+9}=(-9)^{13}\)
  • \(5^{-20}\cdot 5^{20}=5^{-20+20}=5^0=1\)

Dzielenie potęg

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:

  • \(5^{17}:5^{2}=5^{17-2}=5^{15}\)
  • \(5^{2}:5^{17}=5^{2-17}=5^{-15}=\frac{1}{5^{15}}\)
  • \((\frac{1}{8})^7 : (\frac{1}{8})^7 = (\frac{1}{8})^{7-7}=(\frac{1}{8})^{0}=1\)
  • \((-3)^7/ (-3)^4=(-3)^{7-4}=(-3)^{3}=-27\)
  • \(5^{-20}: 5^{20}=5^{-20-20}=5^{-40}=\frac{1}{5^{40}}\)

Potęgowanie potęg

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:

  • \((5^5)^5=5^{5\cdot 5}=5^{25}\)
  • \((5^{-1})^2=5^{-1\cdot 2}=5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\)

Potęga iloczynu liczb

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:

  • \(3^2\cdot 2^2=(3\cdot 2)^2=6^2=36\)
  • \(5^{-2}\cdot 2^{-2}=(5\cdot 2)^{-2}=10^{-2}=\frac{1}{100}\)
  • \(100^{57}\cdot 0,01^{57}=(100\cdot 0,01)^{57}=1^{57}=1\)

Potęgowanie ułamków

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:

  • \(4^2:2^2=(4:2)^2=2^2=4\)
  • \(2^{-2}:4^{-2}=(2:4)^{-2}=(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4\)
  • \(100^{5}:0,01^{5}=(100:0,01)^{5}=10000^{5}=(10^4)^5=10^{20}\)
  • \((\frac{2}{5})^2=\frac{2^2}{5^2}=\frac{4}{25}\)

Inne

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: \(5^6 \cdot 6^5\).

Ponieważ nie mamy tutaj takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.

Zadanie

Oblicz: \(5^7+5^5\).

Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale „w drugą stronę”, to znaczy:
\(5^7+5^5=5^{5+2}+5^5=5^2\cdot5^5+5^5=5^5(5^2+1) = 26\cdot 5^5\)

Potęgi liczby 10

Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że:

\(1=10^0\)

\(10=10^1\)

\(100=10^2\)

\(1000=10^3\)

\(10000=10^4\)

Uogólniając, potęga liczby \(10\) wskazuje „liczbę zer po jedynce”.

Zatem dla przykładu \(10^20\) oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli 100000000000000000000.


Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że

\(0,1=10^{-1}\)

\(0,01=10^{-2}\)

\(0,001=10^{-3}\)

\(0,0001=10^{-4}\)

Uogólniając, potęga ujemna liczby \(10\) wskazuje „na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka”.

Zatem dla przykładu \(10^{-10}\) oznacza liczbę 0,0000000001.

Reasumując:
Jak wyrazić liczbę za pomocą potęgi?

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Uprościć wyrażenie:

\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Uprościć wyrażenie:

\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Uprościć wyrażenie:

W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz:

3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz wartość wyrażenia:

[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Dla każdej dodatniej liczby a iloraz \frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}} jest równy:

A. a^{-3,9}

B. a^{-2}

C. a^{-1,3}

D. a^{1,3}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba 5^8*16^(-2) jest równa

A. (5/2)^8

B. (5/2)^8

C. (5/2)^8

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dane są liczby a = 3,6⋅10−12 oraz b = 2,4⋅10−20. Wtedy iloraz a/b jest równy:

  1. 8,64⋅10−32
  2. 1,5⋅10−8
  3. 1,5⋅108
  4. 8,64⋅1032

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Liczba naturalna n=214·515 w zapisie dziesiętnym ma

A. 14 cyfr

B. 15 cyfr

C. 16 cyfr

D. 30 cyfr

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Liczba 250·340/3610 jest równa:

A. 670

B. 645

C. 230·320

D. 210·320

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Liczba 1005·(0,1)-6 jest równa

A. 1013

B. 1016

C. 10-1

D. 10-30

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Funkcja f określona jest wzorem f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1} dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(-\sqrt[3]{3}) jest równa:

A. wzór

B. wzór

C. wzór

D. wzór

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-01-19, ART-144
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-12



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.