Działania na potęgach

Teoria Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:

1) am∙an = am+n
2) am:an = am-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (am)n = am∙n
4) an∙bn = (ab)n
5) an:bn = (a:b)n, dla b ≠ 0

Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).

Przykłady

Iloczyn (mnożenie) potęg:

A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
52∙517 = 52+17 = 519
(⅛)7∙(⅛)7 = (⅛)7+7 = (⅛)14
(-9) 4∙(-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13
5-20∙520 = 5 -20+20 = 50 = 1

Dzielenie potęg:

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
517:52 = 517-2 = 515
52:517 = 52-17 = 5-15 = 1/(515)
(⅛)7:(⅛)7 = (⅛)7-7 = (⅛)0 = 1
(-3)7 / (-3)4 = (-3)7-4 = (-3)3 = -27
5-20 : 520 = 5-20-20 = 5-40=1/540

Potęgowanie potęg:

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(55)5 = 55∙5 = 525
(5-1)2 = 5-1∙2 = 5-2 = 1/25

Potęga iloczynu liczb:

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
32∙22 = (3∙2)2 = 36
5-2∙2-2 = (5∙2)-2 = 1/100 = 0.01
10057∙0.0157 = (100∙0.01)57 = 157 = 1

Potęgowanie ułamków:

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
42:22 = (4:2)2 = 22 = 4
2-2:4-2 = (2:4)-2 = (1/2)-2 = 22 = 4
1005 : 0.015 = (100:0.01)5 = 100005 = (104)5 = 1020
(2/5)2 = 22/52 = 4/25

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: 5 6 ∙ 6 5.
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.

zadanie Zadanie

Oblicz: 57 + 55
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
57+55 = 55+2+55 = 52∙5 5+55 = 55(5 2+1) = 26∙55

Potęgi liczby 10

Teoria Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 100
10 = 101
100 = 102
1000 = 103
10000 = 104
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 1020 oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000


TeoriaWarto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10-1
0.01 = 10-2
0.001 = 10-3
0.0001 = 10-4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10-10 oznacza liczbę - 0.0000000001

Reasumując:
Jak wyrazić liczbę za pomocą potęgi?



© medianauka.pl, 2009-01-19, ART-144


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Działania na potęgach

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 1, matura 2016 (poziom podstawowy)
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz \frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}} jest równy:

A. a^{-3,9}
B. a^{-2}
C. a^{-1,3}
D. a^{1,3}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1} dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(-\sqrt[3]{3}) jest równa:

A. wzór
B. wzór
C. wzór
D. wzór

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

PotęgowaniePotęgowanie
Definicja potęgi o wykładniku naturalnym.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.