Działania na potęgach

Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:

1) a ^m ∙ a ⁿ = a ^m+n
2) a ^m : a ⁿ = a ^m-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (a ^m)ⁿ = a ^{m ∙ n}
4) a ⁿ ∙ b ⁿ = (ab) ⁿ
5) a ⁿ : b ⁿ = (a:b) ⁿ, dla b ≠ 0

Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).

Przykład

A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
5 ² ∙ 5 ¹⁷ = 5 ²⁺¹⁷ = 5 ¹⁹
(⅛) ⁷ ∙ (⅛) ⁷ = (⅛) ⁷⁺⁷ = (⅛) ¹⁴
(-9) ⁴ ∙ (-9) ⁹ = (-9) ⁴⁺⁹ = (-9) ¹³
5 ^-20 ∙ 5 ²⁰ = 5 ^-20+20 = 5 ⁰ = 1

A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
5 ¹⁷ : 5 ² = 5 ^17-2 = 5 ¹⁵
5 ² : 5 ¹⁷ = 5 ^2-17 = 5 ^-15 = 1/(5 ¹⁵)
(⅛) ⁷ : (⅛) ⁷ = (⅛) ^7-7 = (⅛) ⁰ = 1
(-3) ⁷ / (-3) ⁴ = (-3) ^7-4 = (-3) ³ = -27
5 ^-20 : 5 ²⁰ = 5 ^-20-20 = 5 ^-40

Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(5 ⁵) ⁵ = 5 ^5∙5 = 5 ²⁵
(5 ^-1) ² = 5 ^-1∙2 = 5 ^-2 = 1/25

Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
3 ² ∙ 2 ² = (3∙2) ² = 36
5 ^-2 ∙ 2 ^-2 = (5∙2) ^-2 = 1/100 = 0.01
100 ⁵⁷ ∙ 0.01 ⁵⁷ = (100∙0.01) ⁵⁷ = 1 ⁵⁷ = 1

Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
4 ² : 2 ² = (4:2) ² = 2 ² = 4
2 ^-2 : 4 ^-2 = (2:4) ^-2 = (1/2) ^-2 = 2 ² = 4
100 ⁵ : 0.01 ⁵ = (100:0.01) ⁵ = 10000 ⁵ = (10 ⁴) ⁵ = 10 ²⁰

Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: 5 ⁶ ∙ 6 ⁵.
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.

Zadanie

Oblicz: 5 ⁷ + 5 ⁵
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
5 ⁷ + 5 ⁵ = 5 ⁵⁺² + 5 ⁵ = 5 ² ∙ 5 ⁵ + 5 ⁵ = 5 ⁵(5 ² + 1) = 26 ∙ 5 ⁵

Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 10 ⁰
10 = 10 ¹
100 = 10 ²
1000 = 10 ³
10000 = 10 ⁴
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 10 ²⁰ oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000

Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10 ^-1
0.01 = 10 ^-2
0.001 = 10 ^-3
0.0001 = 10 ^-4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10 ^-10 oznacza liczbę - 0.0000000001