Działania na potęgach
Dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b oraz liczb naturalnych m i n dodatnich prawdziwe są wzory:
2) am:an = am-n, dla a ≠ 0 i m>n
3) (am)n = am∙n
4) an∙bn = (ab)n
5) an:bn = (a:b)n, dla b ≠ 0
Powyższe wzory są prawdziwe także dla potęg o wykładnikach całkowitych i rzeczywistych (warunek m>n dla wzoru drugiego nie jest już konieczny).
Przykłady
Iloczyn (mnożenie) potęg:
A oto przykłady na zastosowanie pierwszego wzoru:
52∙517 = 52+17 = 519
(⅛)7∙(⅛)7 = (⅛)7+7 = (⅛)14
(-9) 4∙(-9) 9 = (-9) 4+9 = (-9) 13
5-20∙520 = 5 -20+20 = 50 = 1
Dzielenie potęg:
A oto przykłady na zastosowanie drugiego wzoru:
517:52 = 517-2 = 515
52:517 = 52-17 = 5-15 = 1/(515)
(⅛)7:(⅛)7 = (⅛)7-7 = (⅛)0 = 1
(-3)7 / (-3)4 = (-3)7-4 = (-3)3 = -27
5-20 : 520 = 5-20-20 = 5-40=1/540
Potęgowanie potęg:
Przykłady na zastosowanie trzeciego wzoru:
(55)5 = 55∙5 = 525
(5-1)2 = 5-1∙2 = 5-2 = 1/25
Potęga iloczynu liczb:
Przykłady na zastosowanie czwartego wzoru:
32∙22 = (3∙2)2 = 36
5-2∙2-2 = (5∙2)-2 = 1/100 = 0.01
10057∙0.0157 = (100∙0.01)57 = 157 = 1
Potęgowanie ułamków:
Przykłady na zastosowanie piątego wzoru:
42:22 = (4:2)2 = 22 = 4
2-2:4-2 = (2:4)-2 = (1/2)-2 = 22 = 4
1005 : 0.015 = (100:0.01)5 = 100005 = (104)5 = 1020
(2/5)2 = 22/52 = 4/25
Przyjrzyjmy się następującemu przykładowi: 5 6 ∙ 6 5.
Ponieważ nie mamy tutaj ani takich samych podstaw ani wykładników potęgi, żaden ze wzorów działań na potęgach nie może być zastosowany.
Zadanie
Oblicz: 57 + 55
Ponieważ mamy tutaj takie same podstawy, możemy skorzystać ze wzoru pierwszego, ale "w drugą stronę", to znaczy:
57+55 = 55+2+55 = 52∙5 5+55 = 55(5 2+1) = 26∙55
Potęgi liczby 10
Szczególną uwagę warto zwrócić na potęgi liczby 10. Zauważmy, że
1 = 100
10 = 101
100 = 102
1000 = 103
10000 = 104
uogólniając, potęga liczby 10 wskazuje "liczbę zer po jedynce". Zatem dla przykładu 1020 oznacza liczbę z dwudziestoma zerami, czyli - 100000000000000000000
Warto jeszcze zwrócić uwagę na ujemne potęgi liczby 10. Zauważmy, że
0.1 = 10-1
0.01 = 10-2
0.001 = 10-3
0.0001 = 10-4
uogólniając, potęga ujemna liczby 10 wskazuje "na którym miejscu po przecinku znajduje się jedynka". Zatem dla przykładu 10-10 oznacza liczbę - 0.0000000001
Reasumując:
© medianauka.pl, 2009-01-19, ART-144
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Działania na potęgach
Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Uprościć wyrażenie:
Zadanie - Działania na potęgach - upraszczanie wyrażeń
Uprościć wyrażenie:
Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia
Oblicz:
Zadanie - Działania na potęgach - oblicz wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
Zadanie - Działania na potęgach - Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
Zadanie maturalne nr 1, matura 2016 (poziom podstawowy)
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy:
A.
B.
C.
D.
Zadanie maturalne nr 1, matura 2017
Liczba jest równa
A.
B.
C.
D. 10
Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom podstawowy)
Funkcja f określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy
jest równa:
A.
B.
C.
D.
Inne zagadnienia z tej lekcji

Definicja potęgi o wykładniku naturalnym.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.