Potęga o wykładniku wymiernym

Definicja

Dla nieujemnej liczby a oraz liczby naturalnej n określamy:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Przykład

$3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}\\4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\\16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$

Definicja

Dla nieujemnej liczby a oraz liczb naturalnych m i n określamy:

$a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=\sqrt[n]{a^m}$

Przykład

$3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}\\4^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{64}=2\\5^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{5^3}=\sqrt[5]{125}$

Definicja

Dla dodatniej liczby a oraz liczb naturalnych m i n określamy:

$a^{-\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^{-m}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

Przykład

$3^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\\4^{-\frac{3}{6}}=\frac{1}{\sqrt[6]{64}}=\frac{1}{2}\\5^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{125}}$

Dla potęg o wykładniku wymiernym stosujemy te same działania, jak w przypadku działań na potęgach o wykładniku naturalnym.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Uprościć wyrażenie:
$\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Uprościć wyrażenie:
$W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz:
$3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz wartość wyrażenia:
$[(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
$(5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Oblicz wartość wyrażenia: $\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Funkcja f określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa:

A.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Sprawdzić, czy liczby $1, \ \sqrt{2}$ są pierwiastkami wielomianu $W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Potęga o wykładniku niewymiernym

Definicja i własności potęgi o wykładniku niewymiernym.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.