Działania na pierwiastkach

Dla liczb naturalnych m i n oraz liczb rzeczywistych a≥0 i b≥0 prawdziwe są następujące wzory:

$1)\ (\sqrt[n]{a})^n=a\\ 2)\ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\\ 3)\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\\ 4)\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\\ 5)\ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

Przykład 1 - Pierwiastek do potęgi n

Przykłady zastosowania pierwszego wzoru:

$(\sqrt[5]{77})^5=77$

Powyższe wynika bezpośrednio z definicji pierwiastkowania jako działania odwrotnego do potęgowania.

Przykład 2 - Mnożenie pierwiastków

Przykłady zastosowania drugiego wzoru:

$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2} \\ \sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{2}=2\sqrt[4]{2}$

Przykład 3 - Dzielenie pierwiastków

Przykłady zastosowania trzeciego wzoru:

$\sqrt[3]{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{3} \\ \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$

Przykład 4 - Pierwiastek z pierwiastka

Przykłady zastosowania czwartego wzoru:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}}=\sqrt[4\cdot 3]{12}=\sqrt[12]{12} \\ \sqrt[4]{\sqrt{256}}=\sqrt[4\cdot 2]{256}=\sqrt[8]{256}=2$

Przykład 5 - Potęgowanie pierwiastków

Przykłady zastosowania piątego wzoru:

$(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25} \\ (\sqrt[4]{3})^3=\sqrt[4]{3^3}=\sqrt[4]{27}$

Dla każdej wartości a (a nie tylko dla dodatnich lub równych zero) pierwszy przytoczony tutaj wzór dla stopnia drugiego pierwiastka przyjmuje postać.

$\sqrt{a^2}=|a|$

czyli dla a≥0 mamy $\sqrt{a^2}=|a|=a$ , natomiast dla a<0 mamy $\sqrt{a^2}=|a|=-a$ .

Dodawanie pierwiastków

Działania sumy i różnicy pierwiastków nie nie zostały wyżej przedstawione. Jest tak dlatego, że nie ma takich wzorów dla dowolnych pierwiastków. Ich dodawanie lub odejmowanie nie zawsze da się przedstawić w taki sposób, żeby otrzymać wynik w postaci liczby bez konieczności zaokrąglania wyniku.

Dodając do siebie pierwiastki można posłużyć się poniższym algorytmem:

jeżeli jest to możliwe, wykonujemy pierwiastkowanie lub wyłączamy czynnik przed pierwiastek;
jeżeli mamy jako składniki sumy pierwiastki tego samego stopnia z tej samej liczby, możemy dodać do siebie pierwiastki zgodnie ze wzorem m√a+n√a=(m+n)√a.

Na przykład:

√44+3√11=2√11+3√11=5√11

√4+√9=2+3=5

W każdym innym przypadku pozostawiamy wynik w postaci sumy lub różnicy pierwiastków. Jest to dokładna reprezentacja liczby niewymiernej i nie ma potrzeby przedstawiać jej w inny sposób. Na przykład 1+√2, √3-√5, 2√2-5 pozostawiamy w takiej właśnie postaci.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Działania na pierwiastkach

Zadanie - działania na pierwiastkach, obliczanie wartości wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt[3]{\frac{216}{1331}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość wyrażenia ...
Oblicz $\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka $\sqrt{\frac{9a^2b^4}{4}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka dla b>0: $\sqrt{\frac{a^6}{b^2}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Oblicz wartość wyrażenia: $\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia
Uprościć wyrażenie $W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek arytmetyczny

Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.