Działania na pierwiastkach

Teoria Dla liczb naturalnych m i n oraz liczb rzeczywistych a≥0 i b≥0 prawdziwe są następujące wzory:

1)\ (\sqrt[n]{a})^n=a\\ 2)\ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\\ 3)\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\\ 4)\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\\ 5)\ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}


Przykład Przykład 1 - Pierwiastek do potęgi n

Przykłady zastosowania pierwszego wzoru:

(\sqrt[5]{77})^5=77

Powyższe wynika bezpośrednio z definicji pierwiastkowania jako działania odwrotnego do potęgowania.

Przykład Przykład 2 - Mnożenie pierwiastków

Przykłady zastosowania drugiego wzoru:

\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2} \\ \sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{2}=2\sqrt[4]{2}

Przykład Przykład 3 - Dzielenie pierwiastków

Przykłady zastosowania trzeciego wzoru:

\sqrt[3]{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{3} \\ \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}

Przykład Przykład 4 - Pierwiastek z pierwiastka

Przykłady zastosowania czwartego wzoru:

\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}}=\sqrt[4\cdot 3]{12}=\sqrt[12]{12} \\ \sqrt[4]{\sqrt{256}}=\sqrt[4\cdot 2]{256}=\sqrt[8]{256}=2

Przykład Przykład 5 - Potęgowanie pierwiastków

Przykłady zastosowania piątego wzoru:

(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25} \\ (\sqrt[4]{3})^3=\sqrt[4]{3^3}=\sqrt[4]{27}

Teoria Dla każdej wartości a (a nie tylko dla dodatnich lub równych zero) pierwszy przytoczony tutaj wzór dla stopnia drugiego pierwiastka przyjmuje postać.

\sqrt{a^2}=|a|

czyli dla a≥0 mamy \sqrt{a^2}=|a|=a, natomiast dla a<0 mamy \sqrt{a^2}=|a|=-a.

Dodawanie pierwiastków

Działania sumy i różnicy pierwiastków nie nie zostały wyżej przedstawione. Jest tak dlatego, że nie ma takich wzorów dla dowolnych pierwiastków. Ich dodawanie lub odejmowanie nie zawsze da się przedstawić w taki sposób, żeby otrzymać wynik w postaci liczby bez konieczności zaokrąglania wyniku.

Dodając do siebie pierwiastki można posłużyć się poniższym algorytmem:

  • jeżeli jest to możliwe, wykonujemy pierwiastkowanie lub wyłączamy czynnik przed pierwiastek;
  • jeżeli mamy jako składniki sumy pierwiastki tego samego stopnia z tej samej liczby, możemy dodać do siebie pierwiastki zgodnie ze wzorem m√a+n√a=(m+n)√a.

Na przykład:

√44+3√11=2√11+3√11=5√11

√4+√9=2+3=5

W każdym innym przypadku pozostawiamy wynik w postaci sumy lub różnicy pierwiastków. Jest to dokładna reprezentacja liczby niewymiernej i nie ma potrzeby przedstawiać jej w inny sposób. Na przykład 1+√2, √3-√5, 2√2-5 pozostawiamy w takiej właśnie postaci.




Zadania z rozwiązaniami

zadania
Zadania związane z tematem:
Działania na pierwiastkach

zadanie-ikonka Zadanie - działania na pierwiastkach, obliczanie wartości wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia \sqrt[3]{\frac{216}{1331}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość wyrażenia ...
Oblicz \sqrt{\frac{a^2}{b^2}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka \sqrt{\frac{9a^2b^4}{4}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka dla b>0: \sqrt{\frac{a^6}{b^2}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Oblicz wartość wyrażenia: \sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia
Uprościć wyrażenie W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}.

Pokaż rozwiązanie zadania


Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastek arytmetyczny

Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Bardzo duże znaczenie praktyczne ma tak zwane wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-01-24, ART-146





Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki Kostka
Kalkulatory maukowe
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Dziwna Matematyka
Matematyka konkretna
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.