Działania na pierwiastkach
Dla liczb naturalnych m i n oraz liczb rzeczywistych a≥0 i b≥0 prawdziwe są następujące wzory:
![1)\ (\sqrt[n]{a})^n=a\\ 2)\ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\\ 3)\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ b\neq 0\\ 4)\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\\ 5)\ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}](matematyka/wzory/146/1.gif)
Przykład 1 - Pierwiastek do potęgi n
Przykłady zastosowania pierwszego wzoru:
Powyższe wynika bezpośrednio z definicji pierwiastkowania jako działania odwrotnego do potęgowania.
Przykład 2 - Mnożenie pierwiastków
Przykłady zastosowania drugiego wzoru:
Przykład 3 - Dzielenie pierwiastków
Przykłady zastosowania trzeciego wzoru:
Przykład 4 - Pierwiastek z pierwiastka
Przykłady zastosowania czwartego wzoru:
Przykład 5 - Potęgowanie pierwiastków
Przykłady zastosowania piątego wzoru:
Dla każdej wartości a (a nie tylko dla dodatnich lub równych zero) pierwszy przytoczony tutaj wzór dla stopnia drugiego pierwiastka przyjmuje postać.

czyli dla a≥0 mamy , natomiast dla a<0 mamy
.
Dodawanie pierwiastków
Działania sumy i różnicy pierwiastków nie nie zostały wyżej przedstawione. Jest tak dlatego, że nie ma takich wzorów dla dowolnych pierwiastków. Ich dodawanie lub odejmowanie nie zawsze da się przedstawić w taki sposób, żeby otrzymać wynik w postaci liczby bez konieczności zaokrąglania wyniku.
Dodając do siebie pierwiastki można posłużyć się poniższym algorytmem:
- jeżeli jest to możliwe, wykonujemy pierwiastkowanie lub wyłączamy czynnik przed pierwiastek;
- jeżeli mamy jako składniki sumy pierwiastki tego samego stopnia z tej samej liczby, możemy dodać do siebie pierwiastki zgodnie ze wzorem m√a+n√a=(m+n)√a.
Na przykład:
√44+3√11=2√11+3√11=5√11
√4+√9=2+3=5
W każdym innym przypadku pozostawiamy wynik w postaci sumy lub różnicy pierwiastków. Jest to dokładna reprezentacja liczby niewymiernej i nie ma potrzeby przedstawiać jej w inny sposób. Na przykład 1+√2, √3-√5, 2√2-5 pozostawiamy w takiej właśnie postaci.
© medianauka.pl, 2009-01-24, ART-146
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Działania na pierwiastkach
Zadanie - działania na pierwiastkach, obliczanie wartości wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia
Zadanie - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość wyrażenia ...
Oblicz
Zadanie - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka
Zadanie - Działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka dla b>0:
Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Oblicz wartość wyrażenia:
Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość ?
Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia
Uprościć wyrażenie .
Inne zagadnienia z tej lekcji

Definicja pierwiastka arytmetycznego, quiz - pierwiastkowanie, przykłady obliczania pierwiastka z danej liczby.

Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek należy więc liczbę pod pierwiastkiem sprowadzić do postaci: a n∙b.

Usuwanie niewymierności z mianownika wyrażenia polega na takim przekształceniu wyrażenia, aby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.