Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach

Zadanie - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka

Oblicz wartość pierwiastka $\sqrt{\frac{9a^2b^4}{4}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\sqrt{\frac{9a^2b^4}{4}}=\frac{3|a|b^2}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zastosujmy tutaj w pierwszym rzędzie wzór elementarny:

$\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n$

Zgodnie z nim mamy

$\sqrt{\frac{9a^2b^4}{4}}=\sqrt{(\frac{3b^2}{2})^2\cdot a^2}$

Rozbiliśmy ułamek na dwa czynniki podniesione do drugiej potęgi, jeden dodatni (b² jest zawsze liczbą dodatnią) i drugi, co do znaku którego nic nie wiemy. Ze względu na znak bowiem obowiązują różne wzory. Oto one:

$\sqrt{x^2}=|x| \\ \sqrt{x^2}=x, \ dla \ x\geq 0$

Skorzystajmy jeszcze z jednego podstawowego wzoru

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Zgodnie z nim oraz powyższymi wzorami mamy

$\sqrt{(\frac{3b^2}{2})^2\cdot a^2}=\sqrt{(\frac{3b^2}{2})^2}\cdot \sqrt{a^2}=\frac{3b^2}{2}\cdot |a|$

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\-x\ dla \ x<0 \end{cases}$

możemy nasz wynik zapisać w postaci:

$\frac{3b^2}{2}\cdot |a|=\begin{cases} \frac{3ab^2}{2} \ dla \ a\geq 0 \\-\frac{3ab^2}{2}\ dla \ a<0 \end{cases}$

Odpowiedź

$\sqrt{\frac{9a^2b^4}{4}}=\frac{3b^2}{2}\cdot |a|$

Zadania podobne

Zadanie - działania na pierwiastkach, obliczanie wartości wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt[3]{\frac{216}{1331}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach - Oblicz wartość wyrażenia ...
Oblicz $\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Działania na pierwiastkach - Oblicz wartość pierwiastka
Oblicz wartość pierwiastka dla b>0: $\sqrt{\frac{a^6}{b^2}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach - Korzystając z własności działań na pierwiastkach oblicz
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Oblicz wartość wyrażenia: $\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia
Uprościć wyrażenie $W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania