Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach • Wartość bezwzględna - wiadomości podstawowe

Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia

Uprościć wyrażenie $W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=|a-1|+|a+1|$

1) $\begin{cases} a-1 \geq 0\\ a+1\geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 1\\ a\geq -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in <1;+\infty )$
rysunek 1

2) $\begin{cases} a-1<0\\ a+1< 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a<1\\ a<-1\end{cases} \Leftrightarrow a\in (-\infty;-1 )$
rysunek 2

3) $\begin{cases} a-1<0\\ a+1\geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a<1\\ a\geq -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in <-1;1)$
rysunek 3

$\begin{cases} a-1\geq 0\\ a+1< 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 1\\ a< -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in \empty$
rysunek 4

$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=\begin{cases} 2a, \ dla \ a\in <1;+\infty)\\ -2a, \ dla \ a\in (-\infty; -1)\\ 2, \ dla \ a\in <-1;1)\\\end{cases}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru:

$\sqrt{x^2}=|x|$

Zgodnie z nim otrzymujemy

$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=|a-1|+|a+1|$

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0\\ -x, \ dla \ x <0 \end{cases}$

Mamy tutaj do czynienia z dwoma wartościami bezwzględnymi, więc możliwe są cztery przypadki (gdy oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie, ujemne, jeden dodatni, drugi ujemny i odwrotnie)

Przypadek 1

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są większe lub równe zero.

$\begin{cases} a-1 \geq 0\\ a+1\geq 0\end{cases} \\ \begin{cases} a\geq 1\\ a\geq -1\end{cases}$

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

$a\in <1;+\infty )$

Jeżeli oba wyrażenia są nieujemne, co zachodzi dla $a\in <1;+\infty )$ , możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną i nasze wyrażenie W przyjmuje postać:

Przypadek 2

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ujemne.

$\begin{cases} a-1<0\\ a+1< 0\end{cases} \\ \begin{cases} a<1\\ a<-1\end{cases}$

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

$a\in (-\infty;-1)$

Jeżeli oba wyrażenia są ujemne, co zachodzi dla $a\in (-\infty;-1)$ , możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia na przeciwny i nasze wyrażenie W przyjmuje postać:

Przypadek 3

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest ujemne, a drugie nieujemne.

$\begin{cases} a-1<0\\ a+1\geq 0\end{cases} \\ \begin{cases} a<1\\ a\geq -1\end{cases}$

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

$a\in <-1;1)$

Mamy więc:

Przypadek 4

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest nieujemne, a drugie ujemne.

$\begin{cases} a-1\geq 0\\ a+1< 0\end{cases} \\ \begin{cases} a\geq 1\\ a< -1\end{cases}$

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

$a\in \empty$

Nie ma takiego a, dla którego pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, a drugie ujemne, więc nie musimy w tym przypadku obliczać wartości wyrażenia W

Zatem w zależności od wartości a wyrażenie W przyjmuje różne wartości: