Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia


Uprościć wyrażenie W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}.


książki Rozwiązanie zadania uproszczone

W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=|a-1|+|a+1|

1)\begin{cases} a-1 \geq 0\\ a+1\geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 1\\ a\geq -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in <1;+\infty )
rysunek 1
W=|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a

2)\begin{cases} a-1<0\\ a+1< 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a<1\\ a<-1\end{cases} \Leftrightarrow a\in (-\infty;-1 )
rysunek 2
W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)-(a+1)=-a+1-a-1=-2a

3)\begin{cases} a-1<0\\ a+1\geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a<1\\ a\geq -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in <-1;1)
rysunek 3
W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)+a+1=-a+1+a+1=2

\begin{cases} a-1\geq 0\\ a+1< 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 1\\ a< -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in \empty
rysunek 4

\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=\begin{cases} 2a, \ dla \ a\in <1;+\infty)\\ -2a, \ dla \ a\in (-\infty; -1)\\ 2, \ dla \ a\in <-1;1)\\\end{cases}

książki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru:

\sqrt{x^2}=|x|

Zgodnie z nim otrzymujemy

\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=|a-1|+|a+1|

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

|x|=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0\\ -x, \ dla \ x <0 \end{cases}

Mamy tutaj do czynienia z dwoma wartościami bezwzględnymi, więc możliwe są cztery przypadki (gdy oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie, ujemne, jeden dodatni, drugi ujemny i odwrotnie)

Przypadek 1

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są większe lub równe zero.

\begin{cases} a-1 \geq 0\\ a+1\geq 0\end{cases} \\ \begin{cases} a\geq 1\\ a\geq -1\end{cases}

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 1

a\in <1;+\infty )

Jeżeli oba wyrażenia są nieujemne, co zachodzi dla a\in <1;+\infty ), możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną i nasze wyrażenie W przyjmuje postać:

W=|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a

Przypadek 2

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ujemne.

\begin{cases} a-1<0\\ a+1< 0\end{cases} \\ \begin{cases} a<1\\ a<-1\end{cases}

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 2

a\in (-\infty;-1)

Jeżeli oba wyrażenia są ujemne, co zachodzi dla a\in (-\infty;-1), możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia na przeciwny i nasze wyrażenie W przyjmuje postać:

W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)-(a+1)=-a+1-a-1=-2a

Przypadek 3

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest ujemne, a drugie nieujemne.

\begin{cases} a-1<0\\ a+1\geq 0\end{cases} \\ \begin{cases} a<1\\ a\geq -1\end{cases}

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 4

a\in <-1;1)

Mamy więc:

W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)+a+1=-a+1+a+1=2

Przypadek 4

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest nieujemne, a drugie ujemne.

\begin{cases} a-1\geq 0\\ a+1< 0\end{cases} \\ \begin{cases} a\geq 1\\ a< -1\end{cases}

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 5

a\in \empty

Nie ma takiego a, dla którego pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, a drugie ujemne, więc nie musimy w tym przypadku obliczać wartości wyrażenia W

Zatem w zależności od wartości a wyrażenie W przyjmuje różne wartości:

książki Odpowiedź

\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=\begin{cases} 2a, \ dla \ a\in <1;+\infty)\\ -2a, \ dla \ a\in (-\infty; -1)\\ 2, \ dla \ a\in <-1;1)\\\end{cases}

© medianauka.pl, 2009-11-25, ZAD-395





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.