Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia

Uprościć wyrażenie W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}.

książki Rozwiązanie zadania uproszczone

W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=|a-1|+|a+1|

1)\begin{cases} a-1 \geq 0\\ a+1\geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 1\\ a\geq -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in <1;+\infty )
rysunek 1
W=|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a

2)\begin{cases} a-1<0\\ a+1< 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a<1\\ a<-1\end{cases} \Leftrightarrow a\in (-\infty;-1 )
rysunek 2
W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)-(a+1)=-a+1-a-1=-2a

3)\begin{cases} a-1<0\\ a+1\geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a<1\\ a\geq -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in <-1;1)
rysunek 3
W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)+a+1=-a+1+a+1=2

\begin{cases} a-1\geq 0\\ a+1< 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 1\\ a< -1\end{cases} \Leftrightarrow a\in \empty
rysunek 4

\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=\begin{cases} 2a, \ dla \ a\in <1;+\infty)\\ -2a, \ dla \ a\in (-\infty; -1)\\ 2, \ dla \ a\in <-1;1)\\\end{cases}

książki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru:

\sqrt{x^2}=|x|

Zgodnie z nim otrzymujemy

\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=|a-1|+|a+1|

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

|x|=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0\\ -x, \ dla \ x <0 \end{cases}

Mamy tutaj do czynienia z dwoma wartościami bezwzględnymi, więc możliwe są cztery przypadki (gdy oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie, ujemne, jeden dodatni, drugi ujemny i odwrotnie)

Przypadek 1

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są większe lub równe zero.

\begin{cases} a-1 \geq 0\\ a+1\geq 0\end{cases} \\ \begin{cases} a\geq 1\\ a\geq -1\end{cases}

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 1

a\in <1;+\infty )

Jeżeli oba wyrażenia są nieujemne, co zachodzi dla a\in <1;+\infty ), możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną i nasze wyrażenie W przyjmuje postać:

W=|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a

Przypadek 2

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ujemne.

\begin{cases} a-1<0\\ a+1< 0\end{cases} \\ \begin{cases} a<1\\ a<-1\end{cases}

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 2

a\in (-\infty;-1)

Jeżeli oba wyrażenia są ujemne, co zachodzi dla a\in (-\infty;-1), możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia na przeciwny i nasze wyrażenie W przyjmuje postać:

W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)-(a+1)=-a+1-a-1=-2a

Przypadek 3

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest ujemne, a drugie nieujemne.

\begin{cases} a-1<0\\ a+1\geq 0\end{cases} \\ \begin{cases} a<1\\ a\geq -1\end{cases}

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 4

a\in <-1;1)

Mamy więc:

W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)+a+1=-a+1+a+1=2

Przypadek 4

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest nieujemne, a drugie ujemne.

\begin{cases} a-1\geq 0\\ a+1< 0\end{cases} \\ \begin{cases} a\geq 1\\ a< -1\end{cases}

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 5

a\in \empty

Nie ma takiego a, dla którego pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, a drugie ujemne, więc nie musimy w tym przypadku obliczać wartości wyrażenia W

Zatem w zależności od wartości a wyrażenie W przyjmuje różne wartości:

książki Odpowiedź

\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=\begin{cases} 2a, \ dla \ a\in <1;+\infty)\\ -2a, \ dla \ a\in (-\infty; -1)\\ 2, \ dla \ a\in <-1;1)\\\end{cases}

© medianauka.pl, 2009-11-25, ZAD-395





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie z wartością bezwzględną
Rozwiązać równanie |x+1|-|x-1|=5.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=|x+1|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x+1|.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x-2|

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x|}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 1, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |2x-8|≤10
rysunek , zadanie maturalne 1/2015
Stąd wynika, że
A. k=2
B. k=4
C. k=5
D. k=9


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 9, matura 2014
Dla każdej liczby x, spełniającej warunek -3<x<0 , wyrażenie \frac{|x+3|-x+3}{x} jest równe :

A. 2
B. 3
C. -6/x
D. 6/x

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.