Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x|
Treść zadania:
Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x|}\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Dla \(x>0\) (\(x\) nie może być zerem ze względu na dziedzinę funkcji) możemy opuścić wartość bezwzględną.
\(f(x)=\frac{1}{|x|}\)
\(f(x)=\frac{1}{x}\)
Otrzymaliśmy funkcję homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji oczywiście dla dodatnich wartości \(x\) zgodnie z założeniem poczynionym wyżej.
| \(x\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) |
| \(f(x)\) | \(2\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji tylko dla dodatnich wartości \(x\).
Przypadek 2
Dla \(x<0\) możemy opuścić wartość bezwzględną, jeżeli zmienimy znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny.
\(f(x)=\frac{1}{|x|}\)
\(f(x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}\)
Otrzymaliśmy również funkcję homograficzną. Sporządzamy tabelkę zmienności funkcji oczywiście dla ujemnych wartości \(x\) zgodnie z założeniem poczynionym wyżej.
| \(x\) | -\(\frac{1}{2}\) | \(-1\) | \(-2\) |
| \(f(x)\) | \(2\) | \(1\) | \(\frac{1}{2}\) |
Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji tylko dla ujemnych wartości \(x\) w tym samym układzie współrzędnych:
Tym sposobem otrzymaliśmy wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x|}\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-458
Zadania podobne
Zadanie nr 4 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej f(x), której dziedziną jest zbiór \(D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)\).
Równanie \(|f(x)|=p\) z niewiadomą \(x\) ma dokładnie jedno rozwiązanie
A. w dwóch przypadkach: \(p=0\) lub \(p=3\).
B. w dwóch przypadkach: \(p=0\) lub \(p=2\).
C. tylko wtedy, gdy \(p=3\).
D. tylko wtedy, gdy \(p=2\).