Logo Serwisu Media Nauka


Wykres funkcji homograficznej

Teoria Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola lub prosta (w przypadku funkcji liniowej). W niniejszym artykule będzie nas interesowała jedynie hiperbola

Zacznijmy od najprostszego przypadku. Wykreślimy wykres funkcji y=\frac{1}{x}. Dziedziną tej funkcji jest R\{0}. Czyli dla zera funkcja nie jest określona. Sporządźmy tabelkę zmienności.

x-3-2-1-1/2-1/31/31/21234
y-1/3-1/2-1-2-33211/21/31/4

Na podstawie wypełnionej tabelki sporządzamy szkic wykresu funkcji (hiperboli).

Wykres funkcji y=1/x

 

Widzimy, że funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Na poniższej ilustracji widzimy szkic wykresu funkcji y=-\frac{1}{x}.

Wykres funkcji y=-1/x

Widzimy, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Proporcjonalność odwrotna

Teoria Funkcję

y=\frac{m}{x}

nazywamy proporcjonalnością odwrotną, a liczbę m nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

symulacjaSymulacja

Niniejsza symulacja ilustruje zachowanie hiperboli w zależności od wartości współczynnika a. Zmieniaj jego wartość za pomocą suwaka.


Pobierz odtwarzacz Adobe Flash Player

Teoria Aby sporządzić wykres funkcji homograficznej y=\frac{ax+b}{cx+d} korzystamy z przesunięcia wykresu funkcji o pewien wektor.
Doprowadzamy funkcję do postaci y-v=\frac{m}{x-u} (poprzez podzielenie licznika przez mianownik - patrz dzielenie wielomianów) i przesuwamy wykres funkcji y=\frac{1}{x} o wektor \vec{w}=[u,v].

Przykład Przykład

Sporządźmy wykres funkcji y=\frac{2x+3}{x+3}
Dzielimy wielomiany:
(2x+3):(x+3)=2 \\ \ \underline{2x+6} \\ \ \ \ \ \ -3
Otrzymaliśmy resztę z dzielenia, więc możemy powyższą funkcję zapisać w postaci: y=2+\frac{-3}{x+3}, czyli y-2=\frac{-3}{x+3}
Zatem aby sporządzić wykres tej funkcji musimy przesunąć wykres funkcji y=\frac{-3}{x} o wektor \vec{w}=[-3,2]
Na poniższej ilustracji kolorem czerwonym zaznaczono wykres właściwej funkcji. Linią przerywaną zaznaczono wykres funkcji y=\frac{-3}{x}.

Wykres funkcji y=3x

© Media Nauka, 2009-08-20, ART-292



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 68 - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x|
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x|}

zadanie - ikonka Zadanie 69 - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Sporządzić wykres funkcji f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3.

zadanie - ikonka Zadanie 76 - wykres funkcji homograficznej y=(x-3)/(x-4)
Sporządzić wykres funkcji y=\frac{x-3}{x-4}

zadanie - ikonka Zadanie 77 - Wykres funkcji homograficznej y=(-4x+7)/(2x-2)
Sporządzić wykres funkcji
y=\frac{-4x+7}{2x-2}

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 3, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej f(x), której dziedziną jest zbiór D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty).
ilustracja do zadania maturalnego 3
Równanie |f(x)|=p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie
A. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=3
B. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=2
C. tylko wtedy, gdy p=3
D. tylko wtedy, gdy p=2



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy