Zadanie - wykres funkcji homograficznej y=(x-3)/(x-4)
Treść zadania:
Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{x-3}{x-4}\).
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z funkcją homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Zwykle w takich przypadkach dzielimy wielomiany występujące w liczniku i mianowniku, jednak tutaj możemy zastosować prostszą metodę. Do licznika dodajemy liczbę \(0=-1+1\) i dostajemy wówczas:
\(y=\frac{x-3-1+1}{x-4}\)
\(y=\frac{x-4+1}{x-4}\)
\(y=\frac{x-4}{x-4}+\frac{1}{x-4}\)
\(y=1+\frac{1}{x-4}\)
\(y-1=\frac{1}{x-4}\)
Aby naszkicować wykres tej funkcji skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor \([p,q]\) ma wzór:
Jeżeli \(f(x)=\frac{1}{x}\), to \(f(x-p)=\frac{1}{x-p}\). Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci:
\(y-q=f(x-p)\)
\(y-1=\frac{1}{x-4}\)
\(p=4, q=1\)
Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\) w układzie współrzędnych o wektor \([4,1]\).
Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej \(y=\frac{1}{x}\).
| \(x\) | -2 | -1 | -1/2 | 1/2 | 1 | 2 |
| \(f(x)\) | -1/2 | -1 | -2 | 2 | 1 | 1/2 |
Sporządzamy wykres funkcji \(y=\frac{x-3}{x-4}\):
© medianauka.pl, 2009-12-30, ZAD-466
Zadania podobne
Zadanie nr 4 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej f(x), której dziedziną jest zbiór \(D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)\).
Równanie \(|f(x)|=p\) z niewiadomą \(x\) ma dokładnie jedno rozwiązanie
A. w dwóch przypadkach: \(p=0\) lub \(p=3\).
B. w dwóch przypadkach: \(p=0\) lub \(p=2\).
C. tylko wtedy, gdy \(p=3\).
D. tylko wtedy, gdy \(p=2\).