Nauka » Matematyka » Wykres funkcji homograficznej Przesunięcie wykresu funkcji

Zadanie - wykres funkcji homograficznej y=(x-3)/(x-4)

Sporządzić wykres funkcji $y=\frac{x-3}{x-4}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$y=\frac{x-3-1+1}{x-4} \\ y=\frac{x-4+1}{x-4} \\ y=\frac{x-4}{x-4}+\frac{1}{x-4} \\ y=1+\frac{1}{x-4}\\ y-1=\frac{1}{x-4}$
$y-q=f(x-p)\\ y-1=\frac{1}{x-4} \\ p=4, \ q=1$

Tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=1/x

x	-2	-1	-1/2	1/2	1	2
f(x)	-1/2	-1	-2	2	1	1/2

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z funkcją homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Zwykle w takich przypadkach dzielimy wielomiany występujące w liczniku i mianowniku, jednak tutaj możemy zastosować prostszą metodę. Do licznika dodajemy liczbę 0=-1+1 i dostajemy wówczas:

$y=\frac{x-3-1+1}{x-4} \\ y=\frac{x-4+1}{x-4} \\ y=\frac{x-4}{x-4}+\frac{1}{x-4} \\ y=1+\frac{1}{x-4}\\ y-1=\frac{1}{x-4}$ tło

Aby naszkicować wykres tej funkcji skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Wykres funkcji y=f(x) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor [p,q] ma wzór:

Jeżeli $f(x)=\frac{1}{x}$ , to $f(x-p)=\frac{1}{x-p}$ . Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci:

$y-q=f(x-p)\\ y-1=\frac{1}{x-4} \\ p=4, \ q=1$

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji y=1/x w układzie współrzędnych o wektor [4,1].

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej y=1/x

x	-2	-1	-1/2	1/2	1	2
f(x)	-1/2	-1	-2	2	1	1/2

Sporządzamy wykres funkcji $y=\frac{x-3}{x-4}$ :

Zadania podobne

Zadanie - Sporządzić wykres funkcji wykładniczej
Sporządzić wykres funkcji $y=(\frac{1}{2})^{x-5}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Sporządzić wykres funkcji wykładniczej
Sporządzić wykres funkcji $y=(\sqrt{3})^{2x+6}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - sporządzanie wykresu funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{2}{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej
Naszkicować wykres funkcji $y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Wykres funkcji homograficznej y=(-4x+7)/(2x-2)
Sporządzić wykres funkcji:
$y=\frac{-4x+7}{2x-2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 29, matura 2014
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=1/x dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.
rysunek do zadania 29, matura 2014

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).

Pokaż rozwiązanie zadania