Wykres funkcji homograficznej

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola lub prosta (w przypadku funkcji liniowej). W niniejszym artykule będzie nas interesowała jedynie hiperbola

Zacznijmy od najprostszego przypadku. Wykreślimy wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$ . Dziedziną tej funkcji jest R\{0}. Czyli dla zera funkcja nie jest określona. Sporządźmy tabelkę zmienności.

x	-3	-2	-1	-1/2	-1/3	1/3	1/2	1	2	3	4
y	-1/3	-1/2	-1	-2	-3	3	2	1	1/2	1/3	1/4

Na podstawie wypełnionej tabelki sporządzamy szkic wykresu funkcji (hiperboli).

Widzimy, że funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Na poniższej ilustracji widzimy szkic wykresu funkcji $y=-\frac{1}{x}$ .

Widzimy, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Proporcjonalność odwrotna

Funkcję

$y=\frac{m}{x}$

nazywamy proporcjonalnością odwrotną, a liczbę m nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Wykres Wykres funkcji

Niniejsza symulacja ilustruje zachowanie hiperboli w zależności od wartości współczynnika a. Zmieniaj jego wartość za pomocą suwaka.

Aby sporządzić wykres funkcji homograficznej $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ korzystamy z przesunięcia wykresu funkcji o pewien wektor.
Doprowadzamy funkcję do postaci $y-v=\frac{m}{x-u}$ (poprzez podzielenie licznika przez mianownik - patrz dzielenie wielomianów) i przesuwamy wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$ o wektor $\vec{w}=[u,v]$ .

Przykład

Sporządźmy wykres funkcji $y=\frac{2x+3}{x+3}$
Dzielimy wielomiany:
$(2x+3):(x+3)=2 \\ \ \underline{2x+6} \\ \ \ \ \ \ -3$
Otrzymaliśmy resztę z dzielenia, więc możemy powyższą funkcję zapisać w postaci: $y=2+\frac{-3}{x+3}$ , czyli $y-2=\frac{-3}{x+3}$
Zatem aby sporządzić wykres tej funkcji musimy przesunąć wykres funkcji $y=\frac{-3}{x}$ o wektor $\vec{w}=[-3,2]$
Na poniższej ilustracji kolorem czerwonym zaznaczono wykres właściwej funkcji. Linią przerywaną zaznaczono wykres funkcji $y=\frac{-3}{x}$ .