Wykres funkcji homograficznej

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola lub prosta (w szczególnym przypadku). W niniejszym artykule będzie nas interesowała jedynie hiperbola.

Zacznijmy od najprostszego przypadku. Wykreślimy wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\). Dziedziną tej funkcji jest \(\mathbb{R}\setminus\lbrace 0\rbrace \). Czyli dla zera funkcja nie jest określona. Sporządźmy tabelkę zmienności.

\(x\)	-3	-2	-1	-1/2	-1/3	1/3	1/2	1	2	3	4
\(y\)	\(-\frac{1}{3}\)	\(-\frac{1}{2}\)	-1	-2	-3	3	2	1	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{4}\)

Na podstawie wypełnionej tabelki sporządzamy szkic wykresu funkcji (hiperboli).

Hiperbola - wykres funkcji y=1/x

Widzimy, że funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Na poniższej ilustracji widzimy szkic wykresu funkcji \(y=-\frac{1}{x}\).

Wykres funkcji y=-1/x

Widzimy, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Wykres Hiperbola — Wykres funkcji homograficznej online

Niniejsza symulacja ilustruje zachowanie hiperboli w zależności od wartości współczynnika a. Zmieniaj jego wartość za pomocą suwaka.

Funkcja w postaci y = a/x, czyli y =

a 1

Przesuwanie wykresu funkcji homograficznej

Aby sporządzić wykres funkcji homograficznej \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\), korzystamy z przesunięcia wykresu funkcji o pewien wektor.

Doprowadzamy naszą funkcję do postaci \(y-v=\frac{m}{x-u}\) (poprzez podzielenie licznika przez mianownik — patrz dzielenie wielomianów) i przesuwamy wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\) o wektor \(\vec{w}=[u,v]\).