Wykres funkcji homograficznej

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola lub prosta (w przypadku funkcji liniowej). W niniejszym artykule będzie nas interesowała jedynie hiperbola

Zacznijmy od najprostszego przypadku. Wykreślimy wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$ . Dziedziną tej funkcji jest R\{0}. Czyli dla zera funkcja nie jest określona. Sporządźmy tabelkę zmienności.

x	-3	-2	-1	-1/2	-1/3	1/3	1/2	1	2	3	4
y	-1/3	-1/2	-1	-2	-3	3	2	1	1/2	1/3	1/4

Na podstawie wypełnionej tabelki sporządzamy szkic wykresu funkcji (hiperboli).

Widzimy, że funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Na poniższej ilustracji widzimy szkic wykresu funkcji $y=-\frac{1}{x}$ .

Widzimy, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Wykres Wykres funkcji

Niniejsza symulacja ilustruje zachowanie hiperboli w zależności od wartości współczynnika a. Zmieniaj jego wartość za pomocą suwaka.

Funkcja w postaci y = a/x, czyli y =

a 1

Aby sporządzić wykres funkcji homograficznej $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ korzystamy z przesunięcia wykresu funkcji o pewien wektor.
Doprowadzamy funkcję do postaci $y-v=\frac{m}{x-u}$ (poprzez podzielenie licznika przez mianownik - patrz dzielenie wielomianów) i przesuwamy wykres funkcji $y=\frac{1}{x}$ o wektor $\vec{w}=[u,v]$ .

Przykład

Sporządźmy wykres funkcji $y=\frac{2x+3}{x+3}$
Dzielimy wielomiany:
$(2x+3):(x+3)=2 \\ \ \underline{2x+6} \\ \ \ \ \ \ -3$
Otrzymaliśmy resztę z dzielenia, więc możemy powyższą funkcję zapisać w postaci: $y=2+\frac{-3}{x+3}$ , czyli $y-2=\frac{-3}{x+3}$
Zatem aby sporządzić wykres tej funkcji musimy przesunąć wykres funkcji $y=\frac{-3}{x}$ o wektor $\vec{w}=[-3,2]$
Na poniższej ilustracji kolorem czerwonym zaznaczono wykres właściwej funkcji. Linią przerywaną zaznaczono wykres funkcji $y=\frac{-3}{x}$ .

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wykres funkcji homograficznej

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x|
Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x|}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3
Sporządzić wykres funkcji $f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji homograficznej y=(x-3)/(x-4)
Sporządzić wykres funkcji $y=\frac{x-3}{x-4}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Wykres funkcji homograficznej y=(-4x+7)/(2x-2)
Sporządzić wykres funkcji:
$y=\frac{-4x+7}{2x-2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 3, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej f(x), której dziedziną jest zbiór $D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)$ .
ilustracja do zadania maturalnego 3
Równanie |f(x)|=p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie
A. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=3
B. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=2
C. tylko wtedy, gdy p=3
D. tylko wtedy, gdy p=2