Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla \(x^2-x-2\geq 0\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Zbadajmy, dla jakich wartości x możemy to zrobić. Musimy w tym celu rozwiązać nierówność kwadratową:

\(x^2-x-2\geq 0\)

\(a=1, b=-1, c=-2\)\)

\(\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{2}=-1\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{2}=2\)

\((x+1)(x-2)\geq 0\)

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik \(a>0\) ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola przecina oś \(OX\) w punktach \(-1\) i \(2\). Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

\(x\in (-\infty;-1\rangle \cup \langle 2;+\infty)\)

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną i wówczas otrzymujemy funkcję:

\(f(x)=|x^2-x-2|\)

\(f(x)=x^2-x-2\)

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:

Mamy więc:

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}\)

\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}\)

Mamy już wyznaczone miejsca zerowe funkcji: \(-1\) i \(2\) (spójrz na nierówność kwadratową, jaką wcześniej rozwiązaliśmy). Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\):

\(f(0)=0^2-0-2=-2\)

Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\).

Przypadek 2

Dla \(x^2-x-2<0\) możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny. Na podstawie przypadku 1 od razu odczytujemy z wykresu dla jakich wartości \(x\) możemy to zrobić.

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

\(x\in (-1;2)\)

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej \(x\) możemy opuścić wartość bezwzględną (pamiętając o zmianie znaku)i wówczas otrzymujemy funkcję:

\(f(x)=|x^2-x-2|\)

\(f(x)=-(x^2-x-2)=-x^2+x+2\)

Znajdźmy miejsca zerowe funkcji:

\(a=-1, b=1, c=2\)

\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot (-1) \cdot 2=1+8=9\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{-2}=-1\)

Znajdźmy współrzędne wierzchołka paraboli:

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)

\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}\)

Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią OY:

\(f(0)=-0^2+0+2=2\)

Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\). Wykres sporządzamy na uprzednim układzie współrzędnych:

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x-2|\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-457

Zadania podobne

Uprościć wyrażenie \(W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}\).

Rozwiązać równanie \(|x+1|-|x-1|=5\).

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x+1|\).

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x|}\).

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).

Sporządzić wykres funkcji .

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

A. \(|x-3,5|\geq 1,5\)

B. \(|x-1,5|\geq 3,5\)

C. \(|x-3,5|\leq 1,5\)

D. \(|x-1,5|\leq 3,5\)

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(|2x-8|\leq 10\)

Stąd wynika, że

A. \(k=2\)

B. \(k=4\)

C. \(k=5\)

D. \(k=9\)

Dla każdej liczby \(x\), spełniającej warunek \(-3<x<0\), wyrażenie \(\frac{|x+3|-x+3}{x}\) jest równe:

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(-\frac{6}{x}\)

D. \(\frac{6}{x}\)