Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Treść zadania:
Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x-2|\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Dla \(x^2-x-2\geq 0\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Zbadajmy, dla jakich wartości x możemy to zrobić. Musimy w tym celu rozwiązać nierówność kwadratową:
\(x^2-x-2\geq 0\)
\(a=1, b=-1, c=-2\)\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{2}=-1\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{2}=2\)
\((x+1)(x-2)\geq 0\)
Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik \(a>0\) ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola przecina oś \(OX\) w punktach \(-1\) i \(2\). Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.
Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:
\(x\in (-\infty;-1\rangle \cup \langle 2;+\infty)\)
Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną i wówczas otrzymujemy funkcję:
\(f(x)=|x^2-x-2|\)
\(f(x)=x^2-x-2\)
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}\)
Mamy więc:
\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}\)
Mamy już wyznaczone miejsca zerowe funkcji: \(-1\) i \(2\) (spójrz na nierówność kwadratową, jaką wcześniej rozwiązaliśmy). Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\):
\(f(0)=0^2-0-2=-2\)
Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\).
Przypadek 2
Dla \(x^2-x-2<0\) możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny. Na podstawie przypadku 1 od razu odczytujemy z wykresu dla jakich wartości \(x\) możemy to zrobić.
Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:
\(x\in (-1;2)\)
Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej \(x\) możemy opuścić wartość bezwzględną (pamiętając o zmianie znaku)i wówczas otrzymujemy funkcję:
\(f(x)=|x^2-x-2|\)
\(f(x)=-(x^2-x-2)=-x^2+x+2\)
Znajdźmy miejsca zerowe funkcji:
\(a=-1, b=1, c=2\)
\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot (-1) \cdot 2=1+8=9\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{-2}=-1\)
Znajdźmy współrzędne wierzchołka paraboli:
\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}\)
Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią OY:
\(f(0)=-0^2+0+2=2\)
Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\). Wykres sporządzamy na uprzednim układzie współrzędnych:
Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x-2|\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-457
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametrów \(m\) i \(n\) wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=x^2-mx+n+1\) jest punkt \(A(2,1)\)?
.Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie osi symetrii paraboli o równaniu \(f(x)=-2x^2+x-3\).
Zadanie nr 5.
Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\begin{cases}x^2 \ dla \ x<0\\ -x^2\ dla \ x\geq 0\end{cases}\)
Zadanie nr 6.
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
Zadanie nr 7 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,-2]\)
B. \([-2,4]\)
C. \([4,\infty)\)
D. \((-\infty,9]\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([−1, 2]\) jest równa
A. \(2\)
B. \(5\)
C. \(8\)
D. \(9\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2−6x−3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
- \((-6,-3)\)
- \((-6,69)\)
- \((3,-12)\)
- \((6,-3)\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,− 4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
A. \((-\infty ,0\rangle \)
B. \(\langle 0, 4\rangle \)
C. \(\langle -4, +\infty)\)
D. \(\langle 4, +\infty)\)
Zadanie 9: Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(-4\)
C. \(4\)
D. \(0\)
Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=-4\)
B. \(x=-4\)
C. \(y=2\)
D. \(x=2\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x−1)(x−3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).
Współczynnik a we wzorze funkcji \(f\) jest równy
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(-2\)
D. \(-1\)
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(0\)
C. \(1\)
D. \(2\)
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=1\)
B. \(x=2\)
C. \(y=1\)
D. \(y=2\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale
A. \([1, +\infty)\)
B. \((−\infty, 1]\)
C. \((−\infty, −8]\)
D. \([−8, +\infty)\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((−5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba
A. 11
B. 1
C. (-1)
D. (-13)