Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|


Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x-2|


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla x^2-x-2\geq 0:
\Delta=1+8=9 \\ x_1=\frac{1-3}{2}=-1 \\ x_2=\frac{1+3}{2}=2 \\ (x+1)(x-2)\geq 0
Wykres pomocniczy
x\in (-\infty;-1\rangle \cup \langle 2;+\infty)

f(x)=|x^2-x-2|\\ f(x)=x^2-x-2
x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}
f(0)=-2
Wykres funkcji y=|x^2-x-2| - etap 1

2) Dla x^2-x-2<0
rysunek pomocniczy
x\in (-1;2)

f(x)=|x^2-x-2|\\ f(x)=-(x^2-x-2)=-x^2+x+2
\Delta=1^2-4\cdot (-1) \cdot 2=1+8=9 \\ x_1=\frac{-1-3}{-2}=2 \\ x_2=\frac{-1+3}{-2}=-1
x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}
f(0)=2

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji f(x)=|x^2-x-2|

Wykres funkcji y=|x^2-x-2|

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla x^2-x-2\geq 0 możemy opuścić wartość bezwzględną. Zbadajmy, dla jakich wartości x możemy to zrobić. Musimy w tym celu rozwiązać nierówność kwadratową

x^2-x-2\geq 0 \\ a=1 \\ b=-1 \\ c=-2 \\ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{2}=-1 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{2}=2 \\ (x+1)(x-2)\geq 0

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik a>0 ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola przecina oś OX w punktach -1 i 2. Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.

wykres pomocniczy

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

x\in (-\infty;-1\rangle \cup \langle 2;+\infty)

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną i wówczas otrzymujemy funkcję:

f(x)=|x^2-x-2|\\ f(x)=x^2-x-2

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:

x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}

Mamy więc:

x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}

Mamy już wyznaczone miejsca zerowe funkcji: -1 i 2 (spójrz na nierówność kwadratową, jaką wcześniej rozwiązaliśmy). Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią OY:

f(0)=0^2-0-2=-2

Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią OY.

Wykres funkcji y=|x^2-x-2| - etap 1

Przypadek 2

Dla x^2-x-2<0 możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny. Na podstawie przypadku 1 od razu odczytujemy z wykresu dla jakich wartości x możemy to zrobić.

wykres pomocniczy

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

x\in (-1;2)

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną (pamiętając o zmianie znaku)i wówczas otrzymujemy funkcję:

f(x)=|x^2-x-2|\\ f(x)=-(x^2-x-2)=-x^2+x+2

Znajdźmy miejsca zerowe funkcji:

a=-1 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot (-1) \cdot 2=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{-2}=-1

Znajdźmy współrzędne wierzchołka paraboli:

x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}

Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią OY:

f(0)=-0^2+0+2=2

Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią OY. Wykres sporządzamy na uprzednim układzie współrzędnych:

Wykres funkcji y=|x^2-x-2|

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji f(x)=|x^2-x-2|

ksiązki Odpowiedź

Wykres funkcji y=|x^2-x-2|

© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-457





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.