Strona główna » Matematyka » Wykres funkcji kwadratowej • Wartość bezwzględna - wiadomości podstawowe

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|

Sporządzić wykres funkcji

Rozwiązanie zadania uproszczone

1) Dla $x^2-x-2\geq 0$ :
$\Delta=1+8=9 \\ x_1=\frac{1-3}{2}=-1 \\ x_2=\frac{1+3}{2}=2 \\ (x+1)(x-2)\geq 0$
Wykres pomocniczy

$x\in (-\infty;-1\rangle \cup \langle 2;+\infty)$

$f(x)=|x^2-x-2|\\ f(x)=x^2-x-2$
$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}$

2) Dla

$x\in (-1;2)$

$f(x)=|x^2-x-2|\\ f(x)=-(x^2-x-2)=-x^2+x+2$
$\Delta=1^2-4\cdot (-1) \cdot 2=1+8=9 \\ x_1=\frac{-1-3}{-2}=2 \\ x_2=\frac{-1+3}{-2}=-1$
$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}$

Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}$

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla $x^2-x-2\geq 0$ możemy opuścić wartość bezwzględną. Zbadajmy, dla jakich wartości x możemy to zrobić. Musimy w tym celu rozwiązać nierówność kwadratową

$x^2-x-2\geq 0 \\ a=1 \\ b=-1 \\ c=-2 \\ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{2}=-1 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{2}=2 \\ (x+1)(x-2)\geq 0$

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik a>0 ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola przecina oś OX w punktach -1 i 2. Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

$x\in (-\infty;-1\rangle \cup \langle 2;+\infty)$

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną i wówczas otrzymujemy funkcję:

$f(x)=|x^2-x-2|\\ f(x)=x^2-x-2$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:

$x_w=-\frac{b}{2a} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}$

Mamy więc:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \\ y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}$

Mamy już wyznaczone miejsca zerowe funkcji: -1 i 2 (spójrz na nierówność kwadratową, jaką wcześniej rozwiązaliśmy). Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią OY:

Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią OY.

Przypadek 2

Dla możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny. Na podstawie przypadku 1 od razu odczytujemy z wykresu dla jakich wartości x możemy to zrobić.

Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:

$x\in (-1;2)$

Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną (pamiętając o zmianie znaku)i wówczas otrzymujemy funkcję:

$f(x)=|x^2-x-2|\\ f(x)=-(x^2-x-2)=-x^2+x+2$

Znajdźmy miejsca zerowe funkcji:

$a=-1 \\ b=1 \\ c=2 \\ \Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot (-1) \cdot 2=1+8=9 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{-2}=-1$