Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Zadanie - działania na pierwiastkach, obliczanie wartości wyrażenia

Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt[3]{\frac{216}{1331}}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Rozkładamy licznik i mianownik ułamka na czynniki pierwsze:

$\begin{tabular}{r|c} 216 & 2 \\ 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{tabular}$ $\begin{tabular}{r|c} 1331 & 11 \\ 121 & 11 \\ 11 & 11 \\ 1 & \\ \end{tabular}$

$\sqrt[3]{\frac{216}{1331}}=\sqrt[3]{\frac{2^3\cdot 3^3}{11^3}}=\sqrt[3]{(\frac{6}{11})^3}=\frac{6}{11}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozkładamy liczbę 216 na czynniki pierwsze:

$\begin{tabular}{r|c} 216 & 2 \\ 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{tabular}$

Możemy więc napisać, że $216=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3=2^3\cdot 3^3$

Teraz rozkładamy liczbę 1331 na czynniki pierwsze:

$\begin{tabular}{r|c} 1331 & 11 \\ 121 & 11 \\ 11 & 11 \\ 1 & \\ \end{tabular}$

Możemy więc napisać, że $1331=11\cdot 11\cdot 11=11^3$

Obliczamy teraz wartość pierwiastka.

$\sqrt[3]{\frac{216}{1331}}=\sqrt[3]{\frac{2^3\cdot 3^3}{11^3}}$

Korzystamy teraz z własności działań na potęgach:

$a^n\cdot b^n=(ab)^n \\ \frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n, \ b\neq 0$

$\sqrt[3]{\frac{2^3\cdot 3^3}{11^3}}=\sqrt[3]{(\frac{2\cdot 3}{11})^3}=\sqrt[3]{(\frac{6}{11})^3}$

Korzystamy teraz z własności działań na pierwiastkach.

$(\sqrt[n]{a})^n=\sqrt[n]{a^n}=a, \ a> 0$

$\sqrt[3]{(\frac{6}{11})^3}=\frac{6}{11}$

Odpowiedź

$\sqrt[3]{\frac{216}{1331}}=\frac{6}{11}$

© medianauka.pl, 2009-11-21, ZAD-387

Zadania podobne

Zadanie - rozkład liczby na czynniki pierwsze
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby:
a) 290400
b) 4410
c) 150150.

Pokaż rozwiązanie zadania

© Media Nauka 2008-2018 r.