Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem


Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1?


książki Rozwiązanie zadania uproszczone

Równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1 zachodzi wówczas, gdy x^2-2x+1\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie: x \in R


książki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru:

\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0

Zgodnie z nim równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1 zachodzi wówczas, gdy

x^2-2x+1\geq 0

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia, aby przekształcić lewą stronę nierówności.

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

x^2-2x+1\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0

Rozwiązanie nierówności kwadratowej oprzemy o wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Nasz trójmian ma jedno miejsce zerowe x0=1 (punkt przecięcia paraboli z osią OX), współczynnik a=1, więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Na wykresie zaznaczamy więc wszystkie wartości większe lub równe zeru.

wykres

Z wykresu widać, że dla każdej liczby rzeczywistej x punkty paraboli leżą nad osią OX lub leżą na niej, tzn. wartości tej funkcji są większe lub równe zero.


książki Odpowiedź

Równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. x \in R

© medianauka.pl, 2009-11-23, ZAD-394





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.