Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach Nierówność kwadratowa

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem

Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ ?

Rozwiązanie zadania uproszczone

Równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ zachodzi wówczas, gdy $x^2-2x+1\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0$

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie: $x \in R$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru:

$\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0$

Zgodnie z nim równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ zachodzi wówczas, gdy

$x^2-2x+1\geq 0$

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia, aby przekształcić lewą stronę nierówności.

$x^2-2x+1\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0$

Rozwiązanie nierówności kwadratowej oprzemy o wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Nasz trójmian ma jedno miejsce zerowe x₀=1 (punkt przecięcia paraboli z osią OX), współczynnik a=1, więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Na wykresie zaznaczamy więc wszystkie wartości większe lub równe zeru.

Z wykresu widać, że dla każdej liczby rzeczywistej x punkty paraboli leżą nad osią OX lub leżą na niej, tzn. wartości tej funkcji są większe lub równe zero.

Odpowiedź

Równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. $x \in R$

Zadania podobne

Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log(5x^2-3x+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność $2x^2-|x+1|\leq -1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $x^2+2x-3\geq 0$
b) $-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0$
c) $-x^2+2\leq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0$
b) $-x^2-2x-5\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a)

b) $-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność $x^2-2x-m+1\leq 0$ ma jedno rozwiązanie x=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności

jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność $\frac{x}{x+1}\geq 2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x²-4x>(x+3)(x-2).

Pokaż rozwiązanie zadania