Logo Media Nauka

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem

Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1?

książki Rozwiązanie zadania uproszczone

Równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1 zachodzi wówczas, gdy x^2-2x+1\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie: x \in R


książki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru:

\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0

Zgodnie z nim równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1 zachodzi wówczas, gdy

x^2-2x+1\geq 0

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia, aby przekształcić lewą stronę nierówności.

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

x^2-2x+1\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0

Rozwiązanie nierówności kwadratowej oprzemy o wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Nasz trójmian ma jedno miejsce zerowe x0=1 (punkt przecięcia paraboli z osią OX), współczynnik a=1, więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Na wykresie zaznaczamy więc wszystkie wartości większe lub równe zeru.

wykres

Z wykresu widać, że dla każdej liczby rzeczywistej x punkty paraboli leżą nad osią OX lub leżą na niej, tzn. wartości tej funkcji są większe lub równe zero.


książki Odpowiedź

Równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. x \in R

© medianauka.pl, 2009-11-23, ZAD-394



Zadania podobne

kulkaZadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji y=\log(5x^2-3x+1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność 2x^2-|x+1|\leq -1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) x^2+2x-3\geq 0
b) -x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0
c) -x^2+2\leq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) \sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0
b) -x^2-2x-5\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) x^2+8x+16> 0
b) -x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność x^2-2x-m+1\leq 0 ma jedno rozwiązanie x=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności x^2+mx-1+m> 0 jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność \frac{x}{x+1}\geq 2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność 2x^2-4x>3x^2-6x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x2-4x>(x+3)(x-2).

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.