Nauka » Matematyka » Nierówność kwadratowa

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem

Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności

jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

Rozwiązanie zadania uproszczone

Ze względu na dodatni współczynnik a trójmianu możliwe są trzy przypadki:

Pierwszy rysunek ilustruje nam przypadek a) z treści zadania. Jednocześnie zauważamy, że nie istnieje przypadek, w którym rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty.
Pierwszy przypadek:
$\Delta< 0 \\ b^2-4ac< 0 \\ m^2-4(-1+m)< 0 \\ m^2-4m+4< 0\\ (m-2)^2< 0$
Rysunek pomocniczy

$x\in \empty$
Nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór pusty lub zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Współczynnik a trójmianu po lewej stronie nierówności jest dodatni, a więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Interesują nas wartości większe od zera. Możliwe są trzy przypadki:

Zauważamy, że pierwszy rysunek ilustruje nam przypadek a) z treści zadania (zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych). Jednocześnie zauważamy, że nie istnieje przypadek, w którym rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty, gdyż w drugim przypadku rozwiązaniem jest zbiór R/{x₀}, a w trzecim przypadku przedział $(-\infty;x_1)\cup (x_2;+\infty)$ , zatem nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań niniejszej nierówności jest zbiór pusty.

Pierwszy przypadek jest spełniony dla wyróżnika trójmianu kwadratowego mniejszego od zera.

$\Delta< 0 \\ a=1\\ b=m \\ c=-1+m \\ \Delta=b^2-4ac=m^2-4(-1+m)=\\ =m^2+4-4m=m^2-4m+4\\ m^2-4m+4< 0$

skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$m^2-2\cdot 2\cdot m+2^2< 0\\ (m-2)^2< 0$

Mamy więc jedno miejsce zerowe x₀=2, ramiona paraboli są skierowane w górę ze względu na dodatni współczynnik a, z rysunku odczytujemy rozwiązanie:

Interesują nas wartości mniejsze od zera i widać z rysunku, że nie ma takich argumentów m, dla których wartości trójmianu kwadratowego są ujemne.

Odpowiedź

Nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór pusty lub zbiór liczb rzeczywistych.

Zadania podobne

Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem

Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość $\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $y=\log(5x^2-3x+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność $2x^2-|x+1|\leq -1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $x^2+2x-3\geq 0$
b) $-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0$
c) $-x^2+2\leq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) $\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0$
b) $-x^2-2x-5\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a)

b) $-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność $x^2-2x-m+1\leq 0$ ma jedno rozwiązanie x=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność $\frac{x}{x+1}\geq 2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x²-4x>(x+3)(x-2).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2018

Rozwiąż nierówność 2x²−3x>5.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 27, matura 2019

Rozwiąż nierówność 3x²−16x+16>0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 26, matura 2020

Rozwiąż nierówność 2(x −1)(x + 3)>x −1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.