Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem


Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności x^2+mx-1+m> 0 jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Ze względu na dodatni współczynnik a trójmianu możliwe są trzy przypadki:

Rysunek pomocniczy

Pierwszy rysunek ilustruje nam przypadek a) z treści zadania. Jednocześnie zauważamy, że nie istnieje przypadek, w którym rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty.
Pierwszy przypadek:
\Delta< 0 \\ b^2-4ac< 0 \\ m^2-4(-1+m)< 0 \\ m^2-4m+4< 0\\ (m-2)^2< 0
Rysunek pomocniczy
x\in \empty
Nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór pusty lub zbiór liczb rzeczywistych.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Współczynnik a trójmianu po lewej stronie nierówności jest dodatni, a więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Interesują nas wartości większe od zera. Możliwe są trzy przypadki:

Rysunek pomocniczy

Zauważamy, że pierwszy rysunek ilustruje nam przypadek a) z treści zadania (zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych). Jednocześnie zauważamy, że nie istnieje przypadek, w którym rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty, gdyż w drugim przypadku rozwiązaniem jest zbiór R/{x0}, a w trzecim przypadku przedział (-\infty;x_1)\cup (x_2;+\infty), zatem nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań niniejszej nierówności jest zbiór pusty.


Pierwszy przypadek jest spełniony dla wyróżnika trójmianu kwadratowego mniejszego od zera.

\Delta< 0 \\ a=1\\ b=m \\ c=-1+m \\ \Delta=b^2-4ac=m^2-4(-1+m)=\\ =m^2+4-4m=m^2-4m+4\\ m^2-4m+4< 0

skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

m^2-2\cdot 2\cdot m+2^2< 0\\ (m-2)^2< 0

Mamy więc jedno miejsce zerowe x0=2, ramiona paraboli są skierowane w górę ze względu na dodatni współczynnik a, z rysunku odczytujemy rozwiązanie:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości mniejsze od zera i widać z rysunku, że nie ma takich argumentów m, dla których wartości trójmianu kwadratowego są ujemne.

ksiązki Odpowiedź

Nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór pusty lub zbiór liczb rzeczywistych.

© medianauka.pl, 2010-02-11, ZAD-595





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.