Logo Media Nauka

Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem

Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności x^2+mx-1+m> 0 jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Ze względu na dodatni współczynnik a trójmianu możliwe są trzy przypadki:

Rysunek pomocniczy

Pierwszy rysunek ilustruje nam przypadek a) z treści zadania. Jednocześnie zauważamy, że nie istnieje przypadek, w którym rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty.
Pierwszy przypadek:
\Delta< 0 \\ b^2-4ac< 0 \\ m^2-4(-1+m)< 0 \\ m^2-4m+4< 0\\ (m-2)^2< 0
Rysunek pomocniczy
x\in \empty
Nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór pusty lub zbiór liczb rzeczywistych.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Współczynnik a trójmianu po lewej stronie nierówności jest dodatni, a więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Interesują nas wartości większe od zera. Możliwe są trzy przypadki:

Rysunek pomocniczy

Zauważamy, że pierwszy rysunek ilustruje nam przypadek a) z treści zadania (zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych). Jednocześnie zauważamy, że nie istnieje przypadek, w którym rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty, gdyż w drugim przypadku rozwiązaniem jest zbiór R/{x0}, a w trzecim przypadku przedział (-\infty;x_1)\cup (x_2;+\infty), zatem nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań niniejszej nierówności jest zbiór pusty.


Pierwszy przypadek jest spełniony dla wyróżnika trójmianu kwadratowego mniejszego od zera.

\Delta< 0 \\ a=1\\ b=m \\ c=-1+m \\ \Delta=b^2-4ac=m^2-4(-1+m)=\\ =m^2+4-4m=m^2-4m+4\\ m^2-4m+4< 0

skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

m^2-2\cdot 2\cdot m+2^2< 0\\ (m-2)^2< 0

Mamy więc jedno miejsce zerowe x0=2, ramiona paraboli są skierowane w górę ze względu na dodatni współczynnik a, z rysunku odczytujemy rozwiązanie:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości mniejsze od zera i widać z rysunku, że nie ma takich argumentów m, dla których wartości trójmianu kwadratowego są ujemne.

ksiązki Odpowiedź

Nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór pusty lub zbiór liczb rzeczywistych.

© medianauka.pl, 2010-02-11, ZAD-595



Zadania podobne

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji y=\log(5x^2-3x+1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność 2x^2-|x+1|\leq -1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) x^2+2x-3\geq 0
b) -x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0
c) -x^2+2\leq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) \sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0
b) -x^2-2x-5\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) x^2+8x+16> 0
b) -x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność x^2-2x-m+1\leq 0 ma jedno rozwiązanie x=1?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność \frac{x}{x+1}\geq 2

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność 2x^2-4x>3x^2-6x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x2-4x>(x+3)(x-2).

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.