Nierówność kwadratowa
Definicja
Każdą nierówność w postaci:

gdzie , b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy nierównością kwadratową lub nierównością drugiego stopnia.
Przykład
Kilka przykładów nierówności kwadratowych:
Rozwiązywanie nierówności kwadratowych
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej najłatwiej oprzeć o wykresy zmienności trójmianu kwadratowego. Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego w zależności od współczynnika a oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego zostały pokazane na poniższym schemacie:
Przypomnijmy sobie jeszcze tylko oznaczenia:
Skorzystajmy zatem z powyższych informacji przy rozwiązywaniu prostych nierówności.
Zadanie
Rozwiązać nierówność kwadratową
Obliczamy wyróżnik
Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.
Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na trzeci wykres na powyższym rysunku). Interesują nas wartości mniejsze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału (x1;x2) - nierówność jest ostra, więc przedział jest otwarty.
Warto zawsze naszkicować schemat wykresu, z którego odczytujemy rozwiązanie.

Odpowiedź:
Zadanie
Rozwiązać nierówności kwadratowe:
Obliczamy wyróżnik
Wyróżnik jest równy zero, więc trójmian ma jeden podwójny pierwiastek, współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Z wykresu odczytamy więc rozwiązania wszystkich nierówności.

- W przypadku nierówności
żaden punkt wykresu nie leży nad osią OX, nierówność więc nie ma rozwiązania - jest sprzeczna.
- W przypadku nierówności
wszystkie punkty wykresu z wyjątkiem (3,0) leżą pod osią OX, rozwiązaniem nierówności jest zbiór
- W przypadku nierówności
tylko jedna liczba spełnia tę nierówność:
- W przypadku nierówności
wszystkie punkty wykresu leżą pod lub na osi OX, więc rozwiązaniem nierówności jest zbiór
(nierówność jest tożsamościowa).
© medianauka.pl, 2009-08-15, ART-275
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Nierówność kwadratowa
Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość ?
Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność
Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a)
b)
c)
Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a)
b)
Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a)
b)
Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność ma jedno rozwiązanie x=1?
Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności
jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?
Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność
Zadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność .
Zadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x2-4x>(x+3)(x-2).
Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji