Logo Serwisu Media Nauka

Nierówność kwadratowa

Definicja Definicja

Każdą nierówność w postaci:

ax^2+bx+c<0\\ax^2+bx+c>0\\ax^2+bx+c\leq{0}\\ax^2+bx+c\geq{0}

gdzie a\neq{0}, b, c - są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy nierównością kwadratową lub nierównością drugiego stopnia.

Przykład Przykład

Kilka przykładów nierówności kwadratowych:
-x^2-2x+5<0\\5x^2+3\leq{0}\\-3x^2-x\geq{0}


Teoria Rozwiązywanie nierówności kwadratowej najłatwiej oprzeć o wykresy zmienności trójmianu kwadratowego. Wszystkie możliwości zmienności wykresu trójmianu kwadratowego w zależności od współczynnika a oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego zostały pokazane na poniższym schemacie:

wykres trójmianu kwadraowego

Przypomnijmy sobie jeszcze tylko oznaczenia:

\Delta=b^2-4ac\\{x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}}\\x_0=-\frac{b}{2a}

Skorzystajmy zatem z powyższych informacji przy rozwiązywaniu prostych nierówności.

zadanie Zadanie

Rozwiązać nierówność x^2+3x-4<0

a=1\\b=3\\c=-4
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot{1}\cdot(-4)=9+16=25
Wyróżnik jest większy od zera, więc trójmian ma dwa pierwiastki.
\sqrt{\Delta}=5
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1}

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na trzeci wykres na powyższym rysunku). Interesują nas wartości mniejsze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału (x1;x2) - nierówność jest ostra, więc przedział jest otwarty.
Warto zawsze naszkicować schemat wykresu, z którego odczytujemy rozwiązanie.

wykres

Odpowiedź: x\in(-4;1)

zadanie Zadanie

Rozwiązać nierówności:
-x^2+6x-9>0,\\-x^2+6x-9<0,\\-x^2+6x-9\geq{0},\\-x^2+6x-9\leq{0}

a=-1\\b=6\\c=-9
Obliczamy wyróżnik
\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-1)\cdot(-9)=36-36=0

Wyróżnik jest równy zero, więc trójmian ma jeden podwójny pierwiastek, współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Z wykresu odczytamy więc rozwiązania wszystkich nierówności.

x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3

wykres
  • W przypadku nierówności -x^2+6x-9>0 żaden punkt wykresu nie leży nad osią OX, nierówność więc nie ma rozwiązania - jest sprzeczna.
  • W przypadku nierówności -x^2+6x-9<0 wszystkie punkty wykresu z wyjątkiem (3,0) leżą pod osią OX, rozwiązaniem nierówności jest zbiór (-\infty;3)\cup(3;\infty)
  • W przypadku nierówności -x^2+6x-9\geq{0} tylko jedna liczba spełnia tę nierówność: x_0=3
  • W przypadku nierówności -x^2+6x-9\leq{0} wszystkie punkty wykresu leżą pod lub na osi OX, więc rozwiązaniem nierówności jest zbiór R (nierówność jest tożsamościowa).

© medianauka.pl, 2009-08-15, ART-275





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Dla jakiej wartości parametru x prawdziwa jest równość \sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1?

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 27, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązać nierówność 2x^2-4x>3x^2-6x.

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność \frac{x}{x+1}\geq 2

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności x^2+mx-1+m> 0 jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych
b) zbiór pusty ?

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m nierówność x^2-2x-m+1\leq 0 ma jedno rozwiązanie x=1?

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) x^2+8x+16> 0
b) -x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) \sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0
b) -x^2-2x-5\geq 0

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
a) x^2+2x-3\geq 0
b) -x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0
c) -x^2+2\leq 0

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną
Rozwiązać nierówność 2x^2-|x+1|\leq -1

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 26, matura 2015 (poziom podstawowy)
Rozwiąż nierówność 2x2-4x>(x+3)(x-2).

zadanie-ikonka Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Wyznaczyć dziedzinę funkcji y=\log(5x^2-3x+1)




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.