Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Treść zadania:
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log(5x^2-3x+1)\).
Rozwiązanie zadania
Elementarna funkcja logarytmiczna jest określona dla \(\mathbb{R}_+\). Czyli wartość pod logarytmem musi być większa od zera. Mamy zatem warunek:
\(5x^2-3x+1>0\)
Mamy więc do rozwiązania nierówność kwadratową. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
\(a=5,\ b=-3,\ c=1\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 5\cdot 1=9-20=-11<0\)
Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest mniejszy od zera, trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków (nie przecina osi \(Ox\)). Współczynnik a jest dodatni, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry. Ponieważ szukamy wartości dodatnich (spójrz na naszą nierówność), możemy już naszkicować uproszczony wykres trójmianu i zaznaczyć rozwiązanie.
Odczytujemy z wykresu, że \(x\in \mathbb{R}\). (Dla każdego argumentu \(x\) wartość \(f(x)\) jest dodatnia.)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-06, ZAD-415
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+2x-3\geq 0\)
b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)
c) \(-x^2+2\leq 0\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)
b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+8x+16> 0\)
b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych?
b) zbiór pusty?
