Zadanie - dziedzina funkcji logarytmicznej
Treść zadania:
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log(5x^2-3x+1)\).
Rozwiązanie zadania
Elementarna funkcja logarytmiczna jest określona dla \(\mathbb{R}_+\). Czyli wartość pod logarytmem musi być większa od zera. Mamy zatem warunek:
\(5x^2-3x+1>0\)
Mamy więc do rozwiązania nierówność kwadratową. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
\(a=5,\ b=-3,\ c=1\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 5\cdot 1=9-20=-11<0\)
Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest mniejszy od zera, trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków (nie przecina osi \(Ox\)). Współczynnik a jest dodatni, zatem ramiona paraboli skierowane są do góry. Ponieważ szukamy wartości dodatnich (spójrz na naszą nierówność), możemy już naszkicować uproszczony wykres trójmianu i zaznaczyć rozwiązanie.
Odczytujemy z wykresu, że \(x\in \mathbb{R}\). (Dla każdego argumentu \(x\) wartość \(f(x)\) jest dodatnia.)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-06, ZAD-415
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}\).
Zadanie nr 2.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}\).
Zadanie nr 3.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).
Zadanie nr 5.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).